Matemática, perguntado por geovannanicacio7244, 8 meses atrás

explique qual é conceito associado com a definição de determinante de uma matriz bi-dimensional e qual a sua relação para se obter a solução de um sistema de duas equações de primeiro grau

Soluções para a tarefa

Respondido por Couldnt

Sistemas lineares são sistemas de equações lineares, ou seja, equações do tipo

$a_1x_1+\dots +a_n x_n = b$

Onde cada $x_i$ é uma incógnita que deve obedecer a equação à ela atrelada. Várias equações que possuem as mesmas variáveis formam um sistema linear

$\left\{\begin{array}{c}a_{11}\,x_1+\dots+a_{1n}\,x_n = b_1\\\vdots \hspace{0.6cm}+ \ddots +\hspace{0.4cm} \vdots\hspace{0.5cm} =\vdots\\a_{n1}\,x_1+\dots+a_{nn}\,x_n = b_n\end{array}\right.$

No caso de um sistema de duas equações e duas variáveis, o sistema pode ser montado como incógnitas x e y, em que

$\left\{\begin{array}{c}a_{11}\, x+ a_{12}\, y = b_1\\ a_{21}\, x + a_{22}\, y = b_2\end{array}\right.$

Um método de resolver tal sistema é por substituição, que consistem em isolar uma variável de uma equação e substituí-la em outra, a fim de haver uma única variável, começando isolando y da primeira obtemos

$y = \dfrac{1}{a_{12}}\cdot (b_1-a_{11}\, x)$

$a_{21}\, x + a_{22}\cdot \dfrac{1}{a_{12}}\cdot (b_1-a_{11}\, x) = b_2$

Com um pouco de álgebra podemos manipular a equação, isolando o valor de x,

$x\cdot \left(a_{21}-\dfrac{a_{22}\cdot a_{11}}{a_{12}}\right) = b_2-\dfrac{a_{22}}{a_{12}}b_1$

Multiplicamos ambos os lados por a₁₂ para retirá-lo do denominador, obtendo

$x\cdot (a_{21}\cdot a_{12}-a_{22}\cdot a_{11}) = a_{12}\,b_2-a_{22}\,b_1$

Obtendo nossa solução para x.

$x = \dfrac{1}{a_{21}\cdot a_{12}-a_{22}\cdot a_{11}} \cdot (a_{12}\,b_2-a_{22}\,b_1)$

Para y, basta substituirmos qualquer equação e obteremos que

$y = \dfrac{1}{a_{21}\cdot a_{12}-a_{22}\cdot a_{11}} \cdot (a_{11}\,b_2-a_{21}\,b_1)$

Outro modo de escrever um sistema linear é seu modo vetorial, usamos os fato de que o produto de dois vetores é tal que

$\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x&y\end{array}\right] = a_{11}\,x+a_{12}\,y = b_1$

$\left[\begin{array}{cc}a_{21}&a_{22}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x&y\end{array}\right] = a_{21}\,x+a_{22}\,y = b_2$

e colocamos numa única matriz, concatenando os vetores coluna de forma que

$\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x&y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}b_1&b_2\end{array}\right]$

Deste modo, obtemos nossa matriz que determina o sistema linear e chamamo-la de matriz dos coeficientes, denotando-a como A,

$A = \left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Porque ela é tão importante? Além de seus uso contínuo em álgebra linear como um todo ela é ótima para solucionar o problema que resolvemos anteriormente a partir de um operador chamado determinante.

Definimos o determinante de uma matriz 2x2 como

$\det \left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right) = a_{11}\cdot a_{22} - a_{21}\cdot a_{12}$

Reconhece essa expressão? É a mesma expressão obtida no denominador dos valores de x e y no sistema linear resolvido por substituição! Deste modo, podemos escrever

$x = \dfrac{a_{12}\,b_2-a_{22}\,b_1}{-\det A}$

$y = \dfrac{a_{11}\,b_2-a_{21}\,b_1}{-\det A}$

No entanto, veja como o numerador tem uma cara de determinante também, na realidade ele é de uma matriz obtida substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita que queremos obter pelo vetor dos termos independentes

$X= \left[\begin{array}{cc}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{array}\right]$

$Y = \left[\begin{array}{cc}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{array}\right]$

Deste modo, obtemos que os valores de x e y podem ser obtidos pela divisão de dois determinantes,

$x = \dfrac{\det X}{\det A}$

$y = \dfrac{\det Y}{\det A}$

Este último resultado é chamado de regra de Cramer e vale para qualquer sistema linear quadrado em que o determinante de A seja diferente de zero.

Deste modo, o conceito de determinante está presente na resolução de sistemas lineares por meio da regra de Cramer, como foi mostrado no exemplo genérico 2x2.