Question

Explique porque o teste da integral exige que a função tenha valores positivos
∀x ≥ 1

Answer 1

Boa Noite!

Supondo que f seja contínuo, positivo e decrescente em [1, ∞) ele satisfará a condição em que a série seja expressa em integrais impróprias.

Onde a demonstração exemplifica:

$\sf F(x)$ é decrescente e $\sf f(n) = a_n$, pode enquadrar os termos:

$\large { \sf a_{n+1} = f(n+1) \leq f(x) \leq f(n) = a_n, \: se \: x \: \in \: [n,n+1) }$

Integra no intervalo:

$\large { \sf a_{n+1} \leq \displaystyle \int\limits^{n+1}_n f(x) \: dx \leq a_n}$

Soma N:

$\large { \sf \displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_{n+1} \leq \int\limits^{N+1}_1 f(x) \:dx \leq \sum_{n=1}^{N} a_n }$

• Recordação: f(x) ≥ 0 tendendo ao infinito ou convergindo.

Assim verificando porque o teste da integral exige que a função tenha valores positivos.

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