Question

Explique por favor





.​

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sqrt{ \frac{25 {}^{8} + 5 {}^{18} }{25 {}^{4} + 5 {}^{10} } } \: \: \bullet$

Primeiro, vamos começar escrevendo o número 25 como sendo 5², então:

$\sqrt{ \frac{25 {}^{8} + 5 {}^{18} }{25 {}^{4} + 5 {}^{10} } } = \sqrt{ \frac{(5 {}^{2} ) {}^{8} + 5 {}^{18} }{(5 {}^{2}) {}^{4} + 5 {}^{10} } }$

Note que podemos aplicar a propriedade de potência da potência, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \blue{\boxed{ \red{ \boxed{ \sf\large{(a {}^{m} ) {}^{n} = a {}^{m \times n} }}}}}$

Aplicando essa propriedade temos que:

$\sqrt{ \frac{(5 {}^{2} ) {}^{8} + 5 {}^{18} }{(5 {}^{2}) {}^{4} + 5 {}^{10} } } = \sqrt{ \frac{5 {}^{16} + 5 {}^{18} }{5 {}^{8} + 5 {}^{10} } }$

Agora vamos colocar o menor termo do denominador e do numerador em evidência, ou seja, no numerador seria 5¹⁶ e no denominador seria 5⁸, fazendo isso:

$\sqrt{ \frac{5 {}^{} {}^{16} + 5 {}^{18} }{5 {}^{} {}^{8} + 5 {}^{10} } } = \sqrt{ \frac{5 {}^{16}.(1 + 5 {}^{2} ) }{5 {}^{8}.(1 + 5 {}^{2} ) } }$

Note que são as mesmas expressões, pois se você multiplicar o termo de fora pelo termo de dentro obterá o resultado inicial. Tendo feito isso, note que temos dois termos iguais, um no numerador e o outro no denominador, isto é, podemos cancelar esses dois termos:

$\sqrt{ \frac{5 {}^{16}. \cancel{(1 + 5 {}^{2} )} }{5 {}^{8}. \cancel{(1 + 5 {}^{2} ) }} } = \sqrt{ \frac{5 {}^{16} }{5 {}^{8} } }$

Aplicando a propriedade da divisão de potência de mesma base na fração:

$\: \: \: \: \blue{ \boxed{ \red{ \boxed{ \sf\large {\frac{a {}^{m} }{a {}^{n} } = a {}^{m - n} }}}}} \\ \ \: \sqrt{ \frac{5 {}^{16} }{5 {}^{8} } } = \sqrt{5 {}^{16 - 8} } = \sqrt{5 {}^{8} }$

Por fim podemos dizer que:

$\sqrt{5 {}^{8} } = \sqrt{(5 {}^{4} ) {}^{ \cancel{2}} } = 5 {}^{4} = 625$

Espero ter ajudado