Question

Explique, em detalhes, qual a estratégia que pode ser adotada para demonstrar a validade do seguinte resultado para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais: P(n): 1 + 31 + 32 + ... + 3n = (3n+1 - 1)/2

Answer 1

A estratégia que pode ser adotada é utilizar a progressão geométrica.

Observe que podemos reescrever a soma 1 + 3¹ + 3² + ... + 3ⁿ da seguinte forma: 1 + 3 + 9 + ... + 3ⁿ. Ou seja, temos a soma das potências de 3.

A sequência (1, 3, 9, ..., 3ⁿ) é uma progressão geométrica com:

• primeiro termo igual a 1
• razão igual a 3
• número de termos igual a n.

É importante lembrarmos da fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.

Essa fórmula é definida da seguinte forma:

• $S=\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Sendo a₁ = 1 e q = 3, temos que a soma das potências de 3 é igual a:

$S=\frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.

Portanto, uma estratégia é utilizar o conceito de progressão geométrica.