Question

Explique de maneira clara e objetiva, como tornar uma função quadrática qualquer invertível

Answer 1

Considere a função f: R -> R, tal que f(x) = x² - 2x. Fazendo as modificações necessárias, transforme-a em uma função inversível e obtenha sua inversa.

Passo 1: Descobrir qual a imagem da função f(x)

x² - 2x = 0

Como essa função tem concavidade para cima, para descobrir o seu valor mínimo devemos descobrir o Yv.

Yv = - Δ/ 4a

Yv = -(4 - 4(1)(0)) / 4(1)

Yv = -4/4 = -1

Portanto, a Im = [-1; + ∞[

Passo 2: Trocar o x pelo y

Temos a equação: y = x² - 2x

Trocando, teremos:

x = y² - 2y

Ajeitando essa equação, teremos:

y² - 2y - x = 0

Passo 3: Resolver a equação já invertida

Δ = (-2)² - 4(1)(-x)

Δ = 4 + 4x

Δ = 4(x + 1)

y = 2 +- 2√x + 1/ 2

y = 1 +- √x + 1

Passo 4: Avaliar a imagem da função f(x) e ver qual valor de y está dentro dela

Temos:

1 + √x + 1

1 - √x + 1

A nossa imagem é do [-1; + ∞[

Portanto, o valor que estará nesse intervalo é o:

y = 1 + √ x + 1 

OBS: Não teria como o 1 - √x+ 1 estar nesse intervalo, porque ele seria menor do que -1, e isso não faria parte da imagem da f(x).

Espero ter ajudado