Question

Explique como verificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Answer 1

Proporção direta, em matemática, é o nome dado à relação entre duas grandezas ou variáveis que crescem ou decrescem juntas sempre mediante um fator comum. É o caso mais simples de relação entre duas grandezas ou variáveis.

Proporção diretaEditar
Matematicamente, se duas grandezas X e Y encontram-se relacionadas e são diretamente proporcionais, observa-se que: dobrando-se o valor de uma das grandezas, o valor da grandeza correspondente também dobra; triplicando-se o valor de uma das grandezas, o correspondente valor da outra também triplica, e assim por diante. De forma geral, multiplicando-se uma das grandezas por um certo fator real r, a outra terá seu valor também multiplicado pelo mesmo fator r.

Em matemática o símbolo utilizado para representar uma relação de proporção direta é a letra grega alfa ( \alpha ), de forma que se as grandezas X e Y guardam relação direta uma com a outra, esta pode ser assim representada:

Y \alpha X

Tal relação é geralmente lida como: "Y é diretamente proporcional a X", ou simplesmente, "Y é proporcional a X".

Uma propriedade importante da proporção direta é que os valores de uma das grandezas (y) e os correspondentes valores da outra grandeza (x), em vista da definição, guardam sempre a mesma razão, quaisquer que sejam os pares (x,y) escolhidos. Sendo x1 e x2 dois valores distintos da grandeza X e y1 e y2 os corespondentes valores de Y, tem-se que:

\frac {y_2}{x_2} = \frac {y_1}{x_1}

A constância da razão é a demonstrável mediante a consideração de que o valor x2 pode ser obtido multiplicando o valor x1 por um certo fator r adequado (para x1 não nulo, r = x2 / x1). Para que Y e X guardem proporção direta, ao multiplicar-se x1 por um fator r qualquer a fim de obter-se um novo valor x2, deve-se também multiplicar o valor y1 associado a x1 pelo mesmo fator r a fim de obter-se o novo valor y2 associado à x2. Logo conclui-se que a definição implica que y2 deva ser igual a r vezes y1 para que se tenha uma proporção direta. Tem-se pois que, se x2 = r x1 então y2 = r y1 necessariamente. Logo a razão entre y2 e x2 vale:

\frac {y_2}{x_2} = \frac {ry_1}{rx_1} = \frac {y_1}{x_1} = C

quaisquer que sejam os valores x2 e y2 (ou seja, qualquer que seja o valor de r).

A constante C é denominada constante de proporcionalidade entre as grandezas Y e X e pode de forma geral ser assim calculada:

C = \frac {y}{x}

sendo x o valor da grandeza independente X e y o respectivo valor da grandeza dependente Y. Decorre imediatamente que, se:

Y \alpha X
então, de forma geral para qualquer proporção direta:

y = C.x
Repare o sinal \alpha de diretamente proporcional foi "trocado" por um sinal de igual e uma constante C adequada. Tal procedimento é "padrão" e pode ser adotado sempre que necessário