Question

Explique como encontrar os zeros do polinômio dado: x^3 + 3x^2 – x − 3

Quais são os zeros?​

Answer 1

Os zeros da função são x = -3, x = -1 e x = 1.

Recebemos um polinômio e devemos encontrar os zeros do polinômio. Nosso polinômio fornecido é:

$x ^ 3 + 3x ^ 2 - x - 3$

Os zeros de um polinômio são as soluções ou raízes da função. É aqui que, se a linha fosse representada graficamente, a linha cruzaria o eixo x nesses pontos (às vezes haverá apenas um).

Este é um polinômio cúbico. Podemos usar uma técnica de fatoração conhecida como agrupamento, que é mais eficaz ao fatorar um trinômio com a única satisfação encontrada é: a > 1.

No entanto, também pode ser usado quando a > 1 não for verdadeiro.

Podemos trabalhar primeiro com um polinômio de exemplo e depois resolver o polinômio fornecido.

Um exemplo de polinômio seria:

$10x ^ 2 + 8x - 9 = 0$

No agrupamento, nosso principal objetivo é fatorar o mais rápido possível. Se você examinar o polinômio, não há fator comum entre 10x², 8x ou -9, portanto, não podemos retirar um $GCF$ e precisamos usar outra técnica de fatoração.

Como a > 1, podemos imediatamente passar a usar a técnica de fatoração de agrupamento.

Observe que a função pai para um quadrático é $ax ^ 2 + bx + c = 0$

Agrupar:

1. Queremos encontrar o produto dos termos a e c. Portanto, com nosso polinômio de exemplo, a é 10, b é 8 e c é -9. Portanto, vamos encontrar o produto de 10 e -9.
2. Usando $ac$, listaremos todos os fatores disponíveis. Depois de fazer isso, encontraremos dois fatores de ac que serão somados para nos dar b.
3. Esses dois fatores são então substituídos por bec na seguinte equação pai: $ax ^ 2 + bx + cx + d$.
4. Finalmente, a equação é fatorada usando parênteses no seguinte formato: $(ax ^ 2 + bx) (+ cx + d) = 0$
5. Depois de agrupar a função, tiramos o $GCF$ de ambos os conjuntos de parênteses e o escrevemos como um coeficiente para o bit restante dos parênteses. Os dois $GCFs$ são um conjunto de termos e a parte restante é o outro conjunto de termos.

Vamos usar o agrupamento para resolver $x ^ 3 + 3x ^ 2 - x - 3$.

Como já temos quatro termos, podemos pular as etapas um a três e ir direto para a etapa quatro.

$(x ^ 3 + 3x ^ 2) (- x - 3)$

Agora, precisamos pegar o $GCF$ de ambos os conjuntos de parênteses. Vamos fazer isso com nosso primeiro conjunto de termos.

• Você pode dividir x² de x³ e 3x², então x² é o $GCF$, deixando x e 3 para trás.

Então, também podemos fazer isso com nosso segundo conjunto de termos.

• Existe um -1 implícito na frente de x, e não há nenhum outro termo comum entre -x e -3, então -1 é nosso $GCF$, deixando x e 3 para trás.

Como nossos termos restantes para ambos os conjuntos correspondem, agrupamos nosso polinômio corretamente. Agora, vamos combinar nossos $GCFs$ em um termo e listar nosso termo comum como o segundo termo.

$(x ^ 2-1) (x + 3)$

Agora, podemos separar x² - 1 em mais fatores.

Essa é a diferença de dois quadrados. A fórmula para a diferença de dois quadrados é $(a ^ 2-b ^ 2) = (a + b) (a-b)$

Nossos quadrados perfeitos são todos os inteiros no espectro de números, então 1 é um quadrado perfeito. Portanto, x² torna-se x e 1 torna-se ± 1.

Nossos novos termos seriam, portanto, $(x + 1) (x-1) (x + 3)$.

Finalmente, para encontrar zeros de uma função, x precisa ser igual a alguma coisa. Portanto, podemos definir nossos termos iguais a zero e resolver para x.

Termo 1 (x + 1)

$\begin{gathered}x + 1 = 0\\\\x + 1 - 1 = 0 - 1\\\\\boxed{x = -1}\end{gathered}$

Termo 2 (x - 1)

$\begin{gathered}x - 1 = 0\\\\x - 1 + 1 = 0 + 1\\\\\boxed{x = 1}\end{gathered}$

Termo 3 (x + 3)

$\begin{gathered}x + 3 = 0\\\\x + 3 - 3 = 0 - 3\\\\\boxed{x = -3}\end{gathered}$

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Answer 2

Olá, bom dia.

Para encontrar os zeros, ou raízes, de uma equação polinomial de grau $n$ de coeficientes reais, devemos igualá-la a zero:

$x^3+3x^2-x-3=0$

Para resolver esta equação, podemos fatorar a expressão à esquerda da igualdade. Porém, utilizaremos a fórmula de Cardano-Tartaglia para encontrar suas soluções.

Dada uma equação cúbica de coeficientes reais $ax^3+bx^2+cx+d=0,~a\neq0$, suas soluções podem ser calculadas pelas fórmulas:

• $-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}$.
• $-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}$.
• $-\dfrac{b}{3a}+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}$.

Onde $q=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{3b^2}{27a^3}$ e $p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{3a^2}$.

Primeiro, calculamos os valores de $q$ e $p$ substituindo os coeficientes da equação $a=1,~b=3,~c=-1$ e $d=-3$:

$q=\dfrac{-3}{1}-\dfrac{3\cdot(-1)}{3\cdot 1^2}+\dfrac{2\cdot3^3}{27\cdot1^3}=0\\\\\\ p=\dfrac{-1}{1}-\dfrac{3^2}{3\cdot 1^2}=-4$

Substituindo estes resultados, calculamos os radicais $\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ que aparecem dentro das raízes cúbicas:

$\sqrt{\dfrac{0^2}{4}+\dfrac{(-4)^3}{27}}\\\\\\ \sqrt{0-\dfrac{64}{27}}\\\\\\ \sqrt{-\dfrac{64}{27}}\\\\\\ \dfrac{8i}{3\sqrt{3}}$

Então, teremos as soluções $x_1,~x_2$ e $x_3$ calculadas pelas fórmulas:

$x_1=-1+\sqrt[3]{\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}$.

$x_2=-1+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}$.

$x_3=-1+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt[3]{-\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}$.

Para calcularmos as raízes cúbicas dos números complexos, utilizamos a 2ª Lei de De Moivre, mas esta não será explicitada aqui dado seus vários passos.

Após a aplicação desta lei, vemos que $\sqrt[3]{\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}=1+\dfrac{i}{\sqrt{3}}$ e $\sqrt[3]{-\dfrac{8i}{3\sqrt{3}}}=1-\dfrac{i}{\sqrt{3}}$. Logo, teremos:

$x_1=-1+1+\dfrac{i}{\sqrt{3}}+1-\dfrac{i}{\sqrt{3}}=1$.

$x_2=-1+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\left(1+\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\left(1-\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right)=-3$.

$x_3=-1+\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot\left(1+\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot\left(1-\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right)=-1$.

Estas são as soluções desta equação cúbica.