Question

Explique a razão do seno de 30° ser igual a 1/2​

Answer 1

A razão de $sen(30 ^\circ) =1/2$ vem de uma observação geométrica do triângulo equilatero. Já o cosseno, vem pelo teorema de pitagoras.

Sabemos que um triângulo equilátero possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos iguais. Também [e sabido, por um resultado da geometria, que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180$^\circ$.

Como os ângulos de um triângulo equilátero são iguais, temos que cada ângulo é 60$^\circ$ porque 60+60+60=180.

Mas o teorema de Pitágoras só é aplicável para triângulos retângulos. Para então podermos aplicar o teorema de pitagoras, tomamos a altura de um triângulo equilátero.

Está reta é a bissetriz do ângulo e dividirá o lado oposto em duas metades iguais conforme se vê na figura anexada.

Sendo assim, teremos dois triângulos retângulos com os lados iguais a $l$, $\frac{l} {2}$ $h$.

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos então:

$l^2=h^2 +\frac{l^2} {4}\\l^2-\frac{l^2} {4}=h^2 +\\h=\frac{l\sqrt3} {2}$

Assim, para o ângulo de 30$^\circ}$ temos:

$hipotenusa = l\\cateto\, oposto = \frac{l} {2}\\cateto\, adjacente =\frac{l\sqrt3} {2}$

Lembrando que:

$sen(a) =\frac{cateto\, oposto} {hipotenusa}$

$cos(a) =\frac{cateto\, adjacente} {hipotenusa}$.

Teremos:

$sen(30)=\frac{\frac{l}{2}}{l}=\frac{1}{2}\\cos(3)=\frac{\frac{l\sqrt3} {2}}{l}=\frac{\sqrt3} {2}$