Question

Explicite o domínio e determine o conjunto imagem de cada uma das funções.

Answer 1

Primeiramente uma das perguntas desta questão tem a mesma resposta para todos os casos, pois a imagem de uma função logaritmica pura é sempre todos os números reais, porque qualquer expoente pode ser colocado em uma base tal que retorne para sua resposta original.

Assim temos que para todos as questões o conjunto imagem é: Img = {x e R}.

Para o conjunto Domínio basta analisarmos o logaritmando (O termo que esta dentro do parenteses de cada logaritmo), pois o logaritmando nunca pode ser negativo, pois não existe nenhum número, que elevado a algum expoente dê em um número negativo, assim, basta garantirmos que o logaritmando é positivo, ou maior que 0:

a) $log_{2}(x-1)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$x-1>0$

$x>1$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > 1}.

b) $log_{\frac{1}{2}}(2+x)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$2+x>0$

$x>-2$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > -2}.

c) $log_{3}(2x)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$2x>0$

$x>0$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > 0}.

d) $log_{\frac{1}{2}}(2x+3)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$2x+3>0$

$2x>-3$

$x>-\frac{3}{2}$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > -3/2}.

e) $3+log_{3}(2x-1)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$2x-1>0$

$x>\frac{1}{2}$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > 1/2}.

f) $-2+2.log_{4}(x)$

Para garantir que existe, então o seu interior tem que ser positivo:

$x>0$

Assim o domínio desta função é: Dom = {x e R; x > 0}.