Question

Explicite o domínio D das funções:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o domínio da função abaixo:

f(x) = 1 / [√(log₈ x - log₂ 5)]

Agora note que temos na função acima várias restrições a que "x" possa assumir qualquer valor real. Essas restrições são as seguintes:

i) Radicais de índice par só admitem radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Então, em princípio, já teremos que o radicando dado deverá ser maior ou igual a zero. Logo, deveremos impor que:

log₈ (x) - log₂ (5) ≥ 0

ii) Contudo, como o radicando acima está no denominador e considerando que denominador nenhum poderá ser zero, então em vez de o radicando ser maior ou igual a zero, deveremos impor que ele será somente maior do que zero (fica, portanto, sem efeito a primeira restrição do item "i"). Assim, passará a prevalecer a seguinte restrição (ou condição de existência):

log₈ (x) - log₂ (5) > 0

iii) Finalmente, a última restrição (última condição de existência): como só existem logaritmos de números positivos (>0), então deveremos impor que o logaritmando "x" deverá ser, necessariamente, positivo. Logo:

x > 0

iv) De posse, portanto, dessas duas restrições (já que a primeira restrição foi suplantada pela segunda), então teremos que as restrições (ou condições de existência) serão estas:

x > 0
e
log₈ (x) - log₂ (5) > 0

v) Vamos, então, trabalhar com a restrição acima, que é:

log₈ (x) - log₂ (5) > 0 ----- note que 8 = 2³. Assim, ficaremos:
log₂³ (x) - log₂ (5) > 0

Veja isto e não esqueça mais: o INVERSO do expoente da BASE passa multiplicando o respectivo logaritmo. Então teremos isto:

(1/3)*log₂ (x) - log₂ (5) > 0 ---- passando o "1/3" para expoente de "x", temos:
log₂ (x¹/³) - log₂ (5) > 0 ---- Como as bases são iguais, então poderemos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

log₂ [(x¹/³)/5] > 0 -- note que o "0" do 2º membro poderá ser substituído por log₂ (1), pois todo logaritmo de "1", em qualquer base, sempre é igual a zero. Assim, ficaremos com:

log₂ [(x¹/³)/5] > log₂ (1)

Agora veja: como as bases são iguais, então já poderemos comparar os logaritmandos. E como a base é maior do que "1" (veja que a base é "2" e 2 é maior do que "1") então, na comparação dos logaritmandos o faremos com o mesmo sentido da desigualdade. Como a desigualdade tem o sentido de ">", então na comparação dos logartimandos também o faremos com ">". Logo:

(x¹/³)/5 > 1 ----- multiplicando-se em cruz, teremos;
x¹/³ > 5*1
x¹/³ > 5 ----- veja que x¹/³ é a mesma coisa que ∛(x). Assim, substituindo, teremos:

∛(x) > 5 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao cubo, ficando assim:

[∛(x)]³ > 5³ ----- desenvolvendo, teremos que:

x > 125 -------- Veja que sendo x maior do que 125, então estão atendidas as restrições (ou condições de existência) que havíamos imposto nos itens "ii" e "iii".

Assim, o domínio (D) serão todos os reais tal que "x" é maior do que 125, o que você poderá, se quiser, expressar da seguinte forma:

D = {x ∈ R | x > 125}.

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = (125; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.