Question

*explicaçao por favor
Em uma aula experimental, um professor divide um arame com 18cm de comprimento em duas partes. Com cada uma das parted ele constroi um triângulo equilatero. Verifica entao, que a soma das aeras dos triângulos formados vale 5V3 cm (5 vezes raiz de 3). Qual a razao entre as medidas do maior e do menor pedaço em que o arame foi dividido?
(GABARITO: razao= 2)

Answer 1

Resposta:

Razão = 2

Explicação passo a passo:

Vamos chamar os triângulos equiláteros de Δ1 e Δ2, cujos lados são respectivamente l1 e l2, com áreas A1 e A2.

Dados:

3l1 + 3l2 = 18 cm (soma dos 3 lados do Δ1 + os 3 lados de Δ2 = 18 cm)

3(l1 + l2) =18   →  l1 + l2 = 6 (Eq. 1)

A1 = l1².√3/4

A2 = l2².√3/4

A1 + A2 = 5√3 cm²

A1 + A2 = l1².√3/4 + l2².√3/4 = 5√3

√3/4( l1² + l2²) = 5√3; simplificando por √3 e transpondo, temos:

l1² + l2² = 20 (Eq. 2)

De (Eq. 1), deduzimos que l2 = 6 - l1. Substituindo na (Eq. 2), temos:

I1² + (6-I1)² - 20 = 0  →  I1² + 36 - 12.l1 + I1²-20 = 0 → 2.I1² - 12.I1 + 16 = 0

I1² - 6.I1 + 8 = 0

√Δ = √(36-32) = √4 = 2

I1' = (6 + 2)/2 →  I1' = 4

l1" = (6 - 2)/2 →  I1" = 2

Substituindo os resultados de I1 na Eq. 1, teremos:

Para l1' = 4  →  I2' = 2

Para I1" = 2 →  I2" = 4

Considerando que Δ1 seja o triângulo de maior perímetro, temos:

P(Δ1) = 3.l1' = 3.4 = 12 cm

P(Δ2) = 3.l2' = 3.2 = 6 cm

Razão entre o maior e o menor pedaço de arame será:

Razão = P(Δ1)/P(Δ2) = 12/6

Razão = 2