Question

Expanda a função $f(x)=e^x$ a partir da Série de Taylor e Maclaurin

Answer 1

Resposta: $e^x=1+\frac{x^1}{1!} +\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} +...$

Explicação passo-a-passo: A Série de Taylor diz que:

$P_{n} (c)=f(c)+\frac{f'(c)}{1!} .(x-c)+\frac{f''(c)}{2!} .(x-c)^2+\frac{f'''(c)}{3!} .(x-c)^3+...+\frac{f^{(n)} (c)}{n!} .(x-c)^n$

Temos que sendo $f(x)=e^x$, $f'(x)=f''(x)=f'''(x)=...=f^{(n)}(x)=e^x$ e que se $x$ for igual a $0$, $f(0)=1$.

Agora vamos substituir $c$ por $0$.

$e^x=1+\frac{1}{1!} .(x-0)^1+\frac{1}{2!} .(x-0)^2+\frac{1}{3!} .(x-0)^3+\frac{1}{4!} .(x-0)^4+...$

$\boxed{e^x=1+\frac{x^1}{1!} +\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} +...}$

Answer 2

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                      ➡️ Conteúdo:

                                 $\swarrow$$\searrow$

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✈     Série de Potências De Maclaurin e Taylor

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⭐ Solução:

➡️⭐ ▣  Em Taylor vemos se $\gray {\sf f \left ( x \right ) = e^x}$, então $\red { \sf f ^{ \left( n\right ) } \left ( x\right ) = e^x }$, portanto $\blue {\sf f ^{ \left( n\right ) } \left ( 0 \right ) = e^0 = 1}$ para todo n. Portanto, a série de Taylor para f em 0 (isto é, a série de Maclaurin) é:

$\huge {\text { \green {\sf \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{f^{\left (n \right )} \left ( 0 \right )}{n!} x^n} = \red {\sf \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{x^n}{n!}} = \blue {\sf 1+ \cfrac{x}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} \dots} }}$

☀️ Passo - a - Passo:

➡️⭐ ▣  Em Maclaurin temos que:

$\huge {\boxed {\bf f \left( x\right ) = f \left ( 0 \right ) + \cfrac{f '\left ( 0 \right ) x^1}{1!} + \cfrac{f'' \left ( 0 \right ) x^2}{2!} + \cfrac{ f'''\left ( 0 \right )x^3}{3!} .. }}$

$\huge {\boxed {\purple {\sf f \left (x \right ) = e^x}}}$

                    $\large { \searrow }$

                    $\huge {\boxed {\pink {\sf \left f (0) = e^0 = 1 \atop \red { \sf f(0) = 1 \right }}}}$

                    $\huge {\boxed {\blue {\sf \left f ' (x) = e^x \atop \purple { \sf f'(0) = e^0 = 1 \right }}}}$

➡  Sendo:

$\huge {\bf e^x = 1+ \cfrac{1x}{1!} + \cfrac{1x^2}{2!} + \cfrac{1x^3}{3!} +\cfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} \dots }$

                                         $\huge { \downarrow}$

                                $\huge {\boxed {\sf \bf e^x = \displaystyle \sum_{n=0} \cfrac{x^n}{n!}}}$

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