Question

Existem vários números importantes o suficiente na matemática para ganharem um nome próprio e um símbolo único, entre eles:
$\bullet\;\;\text{Pi }(\pi)=\dfrac{\text{Per\'imetro do C\'irculo}}{\text{Di\^ametro do C\'irculo}}\approx3,14159265359$
$\bullet\;\;\text{N\'umero de Neper }(e)=\displaystyle\lim_{n\,\to\,\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\approx2,71828182845$
$\bullet\;\;\text{Proporc _{\!\!\!,} \,\~ao \'Aurea }(\phi)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,61803398875$

O tema desta questão é justamente este último exemplo — a Proporção Áurea (Φ).

Resolva a equação $4^x+6^x=9^x$

Answer 1

O resultado dessa expressão resulta em:

$x = \log_{\frac{3}{2}}( \frac{1+\sqrt{5}}{2}) \\\\ou\\\\x = \frac{\log(\frac{1+\sqrt 5}{2})}{log \frac{3}{2}}$

• Explicação

Para resolver a equação, para qualquer número real, primeiramente podemos dividir toda a equação por $4^x$, de forma a simplificar o primeiro termo para 1.

$4^x+6^x=9^x (\div 4^x)\\\\\\(\frac{4^x}{4^x}) + (\frac{6^x}{4^x}) = (\frac{9^x}{4^x})\\\\\\1 +(\frac{6}{4})^x=(\frac{9}{4})^x\\\\\\1+(\frac{3}{2})^x = ((\frac{3}{2})^2)^x\\\\\\1+(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{2x}$

Podemos adicionar uma variável de forma a simplificar a resolução. Vamos fazer a seguinte substituição:

$y = (\frac{3}{2})^x\\\\\\y^2 = (\frac{3}{2})^{2x}$

Dessa forma, ficamos com a seguinte expressão:

$1 + y = y^2$

Que é uma equação do 2ª Grau. Resolvendo-a, ficamos com:

$y^2-y-1=0\\\\\fbox{a = 1; b = -1; c = -1}\\\\\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta = (-1)^2-4\cdot (1)\cdot (-1)\\\\\Delta = 1+4= 5\\\\\\Bhaskara \\\\y = \frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}\\\\\\y_1 = \frac{-(-1)+\sqrt5}{2\cdot (1)} = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\y_2 = \frac{-(-1)-\sqrt5}{2\cdot (1)} = \frac{1-\sqrt5}{2}$

Chegamos em dois resultados. Repare que, como definimos anteriormente $y = (\frac{3}{2})^x$. Logo, o valor de y, por se tratar de uma potência, não pode admitir um valor negativo. Nesse caso, o valor de $y_2$ que obtivemos deve ser desconsiderado.

Sendo assim, temos que:

$y = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\(\frac{3}{2})^x = \frac{1+\sqrt5}{2}$

Aplicando as propriedades de Logaritmo, temos que:

$b^c=a \Leftrightarrow \log_b a = c$

$(\frac{3}{2})^x = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\x = \log_{\frac{3}{2}} (\frac{1+\sqrt 5}{2})$

Utilizando uma calculadora e realizando a operação acima, chegamos ao um valor de:

$x\approx 1,187$

• Leia mais sobre operações de Log em:

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