Question

Existem quantos números inteiros x tal que log10(x−40)+log10(60−x)<2

Answer 1

Resposta:

18

Explicação passo-a-passo:

Aplicando a propriedade de soma de logaritmos de mesma base:

$log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{ac}$

Da inequação:

$log_{10}{(x-40)}+log_{10}{(60-x)}=log_{10}{(x-40)(60-x)}$

Escrevendo o número 2 como logaritmo:

$log_{10}{100}=2$

Reescrevendo a inequação:

$log_{10}{(x-40)(60-x)}<log_{10}{100}$

Como possuem a mesma base, a inequação fica:

(x - 40)(60 - x) < 100

60x - x² - 2400 + 40x < 100

-x² + 100x - 2500 < 0

x² - 100x + 2500 > 0

Resolvendo a equação do segundo grau associada, por Bhaskara:

$x = \dfrac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4*1*2500} }{2*1}$

$x = \dfrac{100}{2}$

x = 50

O gráfico associado é como na figura. Pode-se notar, que a função é maior que 0 para todos os valores reais exceto o número 50.

Validação da condição de existência dos logaritmos:

$log_{10}{(x-40)}$

x - 40 > 0

x > 40

$log_{10}{(60-x)}$

60 - x > 0

x < 60

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S = {x ∈ R | 40 < x < 60 e x ≠ 50}

Os números inteiros que satisfazem a solução são: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59.

No total, a inequação possui 18 números inteiros como solução.