Existem problemas do cotidiano que podem ser modelados a partir de uma função polinomial do segundo grau. Veja o caso a seguir:
Deseja-se aproveitar um muro de 7 metros de comprimento como parte de um dos lados de um cercado que possui a forma retangular. Para completar o contorno do cercado, serão utilizados 35 metros de cerca.
A respeito deste caso, temos as afirmativas a seguir:
1 - A maior área possível é dada quando a parte composta pelo muro é acrescida de 3,5 m de cerca.
2 - Para encontrarmos a maior área possível é necessário encontrar os zeros da função polinomial do segundo grau que define a situação.
3 - Quando acrescentamos 1,8 de cerca no lado composto pelo muro temos a maior área possível para o terreno.
4 - A maior área possível do terreno é de aproximadamente 110,25 m2.
Qual(is) alternativa(s) está(ão) correta(s)?
Soluções para a tarefa
O cercado será um retângulo onde um dos lados será uma parte do muro e os outros lados serão formados pela cerca.
Largura do cercado: x
Comprimento do cercado: y
Parte do cercado junto com o muro: y - 7
PERÍMETRO
2x + y + (y - 7) = 35
2x + 2y - 7 = 35
2x + 2y = 35 + 7
2x + 2y = 42
2(x + y) = 42
x + y = 42/2
x + y = 21 ---> y = 21 - x (I)
ÁREA
A = x.y (II)
Substituindo I em II, temos:
A = x.(21 - x)
A = - x² + 21x
Temos uma equação do 2° grau
- x² + 21x (a = -1 / b = 21)
Agora, calculemos o valor máximo de x
Xv = - b / 2a
Xv = - 21 / 2(-1)
Xv = - 21 / - 2
Xv = 10,5
Então
x = 10,5 m
Agora, o valor de y.
y = 21 - x
y = 21 - 10,5
y = 10,5 m
A maior área possível é.
A = x.y
A = 10,5.10,5
A = 110,25 m²
Avaliando os itens.
1 - A maior área possível é dada quando a parte composta pelo muro é acrescida de 3,5 m de cerca.
>> VERDADEIRO - Se a parte composta pelo muro for acrescida em 3,5 m, ela alcançará 10,5 (7 + 3,5). Alcançando o valor máximo de y.
2 - Para encontrarmos a maior área possível é necessário encontrar os zeros da função polinomial do segundo grau que define a situação.
>> FALSO - Não necessariamente. Também poderíamos achar a área máxima pelo Yv.
Yv = - Δ / 4a
Yv = - 21² / 4(-1)
Yv = - 441 / - 4
Yv = 110,25
3 - Quando acrescentamos 1,8 de cerca no lado composto pelo muro temos a maior área possível para o terreno.
FALSO - Se a parte composta pelo muro for acrescida em 1,8 m, ela alcançará 8,8 (7 + 1,8). Não é o valor máximo de y.
4 - A maior área possível do terreno é de aproximadamente 110,25 m2.
>> VERDADEIRO - A maior área possível é.
A = x.y
A = 10,5.10,5
A = 110,25 m²
Resposta:
I,IV
Explicação passo a passo: