Question

Existem dois valores reais de k para que a reta s: x+2y+ k = 0 seja tangente à circunferência
de equação 1 : x2 +y? –2y –19-0. A soma desses valores é igual a:

a) -6

b) -4

c) -3

d) 4

e) -2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~-4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja a reta $s:x+2y+k=0$ tangente à circunferência de equação $\lambda: x^2+y^2-2y-19=0$, buscamos as somas dos valores de $k$ que satisfazem esta condição.

Para isso, devemos encontrar as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência. Sabemos que para que uma reta seja tangente à circunferência, a distância do centro à sua projeção ortogonal na reta deve ser igual ao raio.

Dessa forma, encontraremos a equação reduzida da circunferência pelo método de completar quadrados: Consiste em dividir os coeficientes dos termos de grau um por $2$ (neste caso, somente o $-2y$) e somarmos seu quadrado em ambos os lados da equação.

Ao dividirmos, teremos $-\dfrac{2}{2}=-1$. Elevando ao quadrado e somando este valor à equação, teremos:

$x^2+y^2-2y-19+\bold{1}=0+\bold{1}$

Reorganize os termos, de forma que

$x^2+y^2-2y+1-19=0+\bold{1}$

Fatore o trinômio quadrado perfeito, lembrando que $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$x^2+(y-1)^2-19=1$

Somando $19$ em ambos os lados da equação, teremos

$x^2+(y-1)^2=20$

Dessa forma, ao compararmos esta equação à forma reduzida da circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $r$ no seguinte sistema:

$\begin{cases}x^2+(y-1)^2=20\\\\ (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\\\end{cases}$

Facilmente podemos ver que esta circunferência tem centro nas coordenadas $(0,~1)$ e seu raio é a solução positiva da equação $r^2=20$.

Retirando a raiz quadrada em ambos os lados da equação, temos

$r=\sqrt{20}$

Decompondo o radicando em fatores primos, vemos que $20=2^2\cdot 5$, logo

$r=2\sqrt{5}$

Então, utilizamos a fórmula de distância do ponto à reta. Dada uma reta de equação geral $ax+by+c=0$, a distância entre ela e o ponto $(x_0,~y_0)$ é dada por:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os coeficientes da equação da reta e igualando $d=r$, teremos

$\dfrac{|1\cdot0+2\cdot 1+k|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\sqrt{5}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{|2+k|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Multiplique ambos os lados por $\sqrt{5}$

$|2+k|=10$

Então, para resolvermos esta equação modular, lembre-se que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$. Dessa forma, teremos:

$\begin{cases}2+k=10\\2+k=-10\\\end{cases}$

Subtraindo $2$ em ambos os lados da equação, temos

$\begin{cases}k=8\\k=-12\\\end{cases}$

Estes são os valores de $k$ que satisfazem esta condição. Dessa forma, a soma dos valores de $k$ será:

$8-12=-4$

Este é o valor que procurávamos e é a resposta contida na letra b).