Question

Existem dois tipos de integrais: as integrais indefinidas, cujo resultado é uma família de funções, e as integrais definidas, cujo resultado é um valor numérico bem definido. Para ambas, os processos de cálculo se aplicam da mesma forma, no entanto, no cálculo de uma integral definida que requeira uma mudança de variável devemos ficar atento aos limites de integração. Resolva a integral definida

Answer 1

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \large \frac{32 + 2 {}^{ \frac{9}{2} } }{15} }$

Explicação:

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \int\limits_{0}^{2}x \sqrt{x + 2} \: dx$

Para facilitar o cálculo, vamos desconsiderar estes limites de integração, já que eles só são usados quando a integral em si já está resolvida.

Ficando apenas com uma integral indefinida temporariamente.

Em relação a resolução, vamos utilizar-se de uma substituição, onde vamos dizer que a expressão que está dentro do parêntese é igual a uma variável qualquer, por exemplo (p). Após definir a função (p), devemos derivá-la.

$\: \: \: \: \: \: \sf p =x + 2 \: \: \to \: \: dp = dx$

Substituindo na integral:

$\: \sf \int x \sqrt{x + 2} dx \: \: \to \: \: \int x. \sqrt{p} \:dp$

Ainda é necessário transformar aquele x em p de alguma forma, para isso vamos nos ultilizar da relação que montamos acima.

$\: \: \: \: \sf p = x + 2 \: \: \to \: \: x = p - 2$

Portanto, ficamos com:

$\sf \int x \sqrt{p} \: dp \: \: \to \: \: \int (p - 2) \sqrt{p} \: dp \\ \\ \sf \int p \sqrt{p} - 2 \sqrt{p} \: dp \: \: \: \to \: \: \int p \sqrt{p} \: dp - \int 2 \sqrt{p} \: dp \\ \\ \sf \int p.p {}^{ \frac{1}{2} } \: dp - 2 \int p^{ \frac{1}{2} } \: dp \: \: \to \: \: \int p {}^{ \frac{3}{2} } dp \: - 2 \int p {}^{ \frac{1}{2} } \: dp$

Resolvendo pela regra da potência de integrais:

$\sf \int p {}^{ \frac{3}{2} } \: dp - 2 \int p {}^{ \frac{1}{2} } \: dp \: \: \to \: \: \frac{p {}^{ \frac{3}{2} + 1 } }{ \frac{3}{2} + 1 } - 2. \frac{p {}^{ \frac{1}{2} + 1 } }{ \frac{1}{2} + 1} \\ \\ \sf \frac{p {}^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} } - 2. \frac{p {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \: \: \to \: \: \frac{2p {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4p {}^{ \frac{3}{2} } }{3}$

Retornando para a variável x:

$\: \: \: \: \: \: \star \: \: \sf \frac{2.(x + 2) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4(x + 2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3}$

Agora retornamos com os limites de integração e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo.

$\sf \left[ \frac{2(x + 2) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4.(x + 2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right] \bigg | _{0}^{2} = \left( \frac{2(2 + 2) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4.(2+ 2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right) - \left( \frac{2(0+ 2) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4.(0 + 2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right) \\ \\ \sf \frac{2.(4) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4.(4) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \left( \frac{2.(2) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} - \frac{4.(2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right) = \boxed{\sf \frac{32 + 2 {}^{ \frac{9}{2} } }{15}}$

Espero ter ajudado