Question

Existem dois números cuja soma seja 6 e o produto, 25? Dica: (Utilize os números complexos)

Answer 1

Existem dois números

(x) e (y) ( 2 números NÃO SABEMOS)

cuja soma seja 6 e o
x + y = 6
 produto, 25?
x.y = 25

assim  SISTEMA de equação linear com 2 variaveis
 {x + y = 6
{x.y = 25

pelo METODO da SUBSTITUIÇÃO

x + y = 6   ( isolar o (x))
x = (6 - y)   SUBSTITUI o (x))

x.y = 25
(6 - y)y = 25
6y - y² = 25   ( igualar a zero)  atenção no sinal
6y - y² - 25 = 0 arruma a CASA
- y² + 6y - 25 = 0  equação so 2º grau
a = - 1
b = 6
c = - 25
Δ = b² - 4ac
Δ = (6)² - 4(-1)(-25)
Δ = + 36 -100
Δ = - 64    ( NÃO existe RAIZ REAL)   ( existe RAIZ complexo)
se
Δ < 0 ( DUAS raizes complexos) 
(baskara)
         - b + - √Δ
y = --------------------- 
               2a

( atenção)
√Δ = √-64  ------->√64(-1)    lembrando que (-1 = i²)
                                                                     (64 = 8²)
√Δ = √-64 = √8²i²   ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²)) fica
√Δ = 8i     ( substituir na √Δ)
          - 6 - 8i         - 6 - 8i                                    6 + 8i   ( divide)
y' = -------------- = -------------  atenção no sinal = ------------TUDO por 2
            2(-1)             - 2                                          2

 y' = 3 + 4i
 
            - 6 + 8i        - 6 + 8i                       +6 -8i
 y" = -------------- = -------------- ( SINAL) = -----------(DIVIDE por 2) 
                 2(-1)           - 2                             2

y" = 3 - 4i


assim
y' = 3 + 4i
y" = 3 - 4i


ACHAR o valor de (x))
y' = 3 + 4i

x = 6 - y
x = 6 - ( 3 + 4i)
x = 6 - 3 - 4i
x = 3 - 4i

y" = 3 - 4i
x = 6 - y
x = 6 - ( 3 - 4i)
x = 6 - 3 + 4i
x = 3 + 4i


assim

x = 3 + 4i
y = 3 -  4i
Dica: (Utilize os números complexos)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Hatah, que a resolução é simples.
Tem-se que a soma de dois números é igual a 6 e o seu produto é igual a 25.
Quais são esses números?

Veja que vamos encontrar dois números complexos, pois vamos terminar numa equação do 2º grau de delta negativo e, assim, iremos encontrar duas raízes complexas, que serão os números procurados.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A soma de dois números é igual a "6". Então chamando esses números de "x" e de "y", teremos:

x + y = 6 ------ passando "y" para o 2º membro, teremos:
x = 6 - y       . (I)

ii) O produto entre esses dois números é igual a "25". Então faremos;

x*y = 25        . (II)

iii) Agora vamos substituir, na expressão (II) o valor de "x" encontrado na expressão [ x = 6-y]. Vamos repetir a expressão (II), que é esta:

x*y = 25 ---- substituindo-se "x" por "6-y", teremos:
(6-y)*y = 25 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos;
6y - y² = 25 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:
0 = 25 - 6y + y² ---- ordenando o 2º membro, teremos;
0 = y² - 6y + 25 --- ou, invertendo-se:
y² - 6y + 25 = 0 ---- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

y = [-b±√(Δ)]/2*a ---- note que os coeficientes da sua questão bem como o Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de y²)
b = -6 --- (é o coeficiente de y)
c = 25 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-6)² - 4*1*25 = 36 - 100 = - 64.
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

y = [-(-6) ± √(-64)]/2*1
y = [6 ± √(-64)]/2 ----- note que √(-64) = √(64)*√(-1). Assim:
y = [6 ± √(64)*√(-1)]/2 ---- veja que √(64) = 8; e √(-1) = i. Assim, ficaremos:
y = [6 ± 8*i]/2 ---- ou apenas:
y = (6 ± 8i)/2 ---- simplificando cada fator por "2", ficaremos apenas com:
y = 3 ±  4i ---- a partir daqui você já conclui que:

y' = 3 - 4i
y'' = 3 + 4i .

Pronto, os números "x" e "y" pedidos serão estes (note os dois números são os que encontramos acima. Você chama, indistintamente, um de "x" e o outro de "y", pois, logo no início informamos que iríamos chamar um número de "x" e outro de "y"). Assim teremos que esses dois números serão:


x = 3 - 4i; e y = 3 + 4i <---- Esta é a resposta. Ou seja, estes são os dois números pedidos, cuja soma é igual a "6" e cujo produto é igual a "25".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver como isso é verdade, ou seja, vamos ver como a soma é igual a "6" e o produto é igual a "25". Vamos ver (chamando a soma de S e o produto de P):

S = 3-4i + 3+4i  ---- note que "-4i" se anula com "+4i". Assim:
S = 3 + 3
S = 6 <--- Olha aí como é verdade que a soma é "6".

P = (3-4i)*(3+4i) ---- aplicando a distributiva, teremos;
P = 3*3 + 3*4i - 4i*3 - 4i*4i
P = 9 + 12i - 12i - 16i² ---- note que "+12i" se anula com "-12i", ficando:
P = 9 - 16i² ---- veja que, nos complexos, i² = -1. Assim:
P = 9 - 16*(-1) ----- efetuando o produto indicado, teremos:
P = 9 + 16
P = 25 <--- Olha aí como é verdade também que o produto é igual a 25.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?:
Adjemir.