Matemática, perguntado por crisfran8205, 8 meses atrás

Existem diversas formas de calcularmos uma integral, uma delas é através do método de integração por substituição. A ideia básica da integração por substituição é fazer uma troca de uma parte da função(x) por uma variável simples(u), possibilitando a integração. Após a equação ser integrada substituímos a variável simples pela parte substituída.

Seja,

∫ x² . √(2x³+1) dx

Após o cálculo da integral podemos dizer que o valor da constante C quando a integral F(1)=9, é melhor representada aproximadamente por:

Alternativa 1:
9

Alternativa 2:
0

Alternativa 3:
8,42

Alternativa 4:
5,32

Alternativa 5:
0,111

brianxdbss: eu colocaria a resposta 5,32 alternativa 4

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre técnicas de integração, concluímos que o valor da constante C está melhor representada na alternativa 3.

➜ Seja u = 2x³ + 1, então du/dx = 6x², i.e., dx = du/(6x²). E a integral fica

$\large{\text{$ \begin{array}{l}\displaystyle\int x^{2}\sqrt{2x^{3} +1} \ dx=\int \cancel{x^{2}}\sqrt{u} \ \frac{du}{6\cancel{x^{2}}}\\\\\displaystyle=\frac{1}{6}\int \sqrt{u} \ du=\frac{1}{6}\int u^{1/2} du\\\\=\frac{1}{6} \cdotp \frac{u^{3/2}}{3/2} =\frac{u^{3/2}}{9}\end{array}$}}$

➜ Devolvendo a substituição e adicionando a constante de integração:

$\large{\text{$\displaystyle\int x^{2}\sqrt{2x^{3} +1} \ dx=\frac{\left( 2x^{3} +1\right)^{3/2}}{9} +c$}}$

∴ A constante de integração para F(1) = 9 é

$\large{\text{$ \begin{array}{l}\frac{\left( 2( 1)^{3} +1\right)^{3/2}}{9} +c=9\Longrightarrow \frac{3^{3/2}}{9} +c=9\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} +c=9\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow c=9-\frac{\sqrt{3}}{3} =\frac{27-\sqrt{3}}{3}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \underline{\underline{c\approx 8,42}}\end{array}$}}$