Question

Existem alguns métodos para se determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio por outro. Escolha entre o método da chave e o algoritmo de Briot-Ruffini para efetuar a divisão de

p(x) = 3x³ - 5x² + 11x - 8 por d(x) = x-1

e mostrar o quociente e o resto desta divisão.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

$\begin{array}{r|c} \boxed{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 & \boxed{x }- 1\end{array}$

Divida o número termos "3x²" do divisor pelo termo "x" do dividendo.

$\frac{3x {}^{3} }{x} = \frac{3}{1} . \frac{x {}^{2} }{x} = 3.x {}^{3 - 1} = \boxed{3x {}^{2} }$

Agora coloque esse número no quociente.

$\begin{array}{r|c}3x {}^{3} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ &3x {}^{2} &\end{array}$

Multiplique pelo dividendo:

$3x {}^{2} .(x - 1) = 3x {}^{2} .x - 3x {}^{2} = \boxed{ 3x {}^{3} - 3x {}^{2} }$

Passe esse valor para o outro lado da divisão com o sinal trocado.

$\begin{array}{r|c} \cancel{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ \cancel{- 3x {}^{3}} + 3 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &3x {}^{2} \\ - 2x {}^{2} + 11x - 8 &\end{array}$

Fazendo os mesmos passos com -2x²:

$\frac{ - 2x {}^{2} }{x} = \frac{ - 2}{1} . \frac{x {}^{2} }{x} = - 2x {}^{2 - 1} = \boxed{- 2x}$

Colocando no dividendo:

$\begin{array}{r|c} \cancel{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ \cancel{- 3x {}^{3}} + 3 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &3x {}^{2} - 2x \\ - 2x {}^{2} + 11x - 8 &\end{array}$

Multiplica pelo dividendo:

$- 2x .(x - 1) = - 2x.x - 1.( - 2x) = - \boxed{2x {}^{2} + 2x}$

Passa para o outro lado com o sinal trocado:

$\begin{array}{r|c} \cancel{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ \cancel{- 3x {}^{3}} + 3 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &3x {}^{2} - 2x \\ \cancel{- 2x {}^{2}} + 11x - 8 \\ \cancel{+ 2x {}^{2}} - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 9x - 8 \: \: &\end{array}$

Mais uma vez, só que com 9x:

$\frac{9x}{x} = \frac{9}{1} \frac{x}{x} = 9. {x}^{1 - 1} = 9.x {}^{0} = 9.1 = \boxed{ 9}$

Colocando no dividendo:

$\begin{array}{r|c} \cancel{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ \cancel{- 3x {}^{3}} + 3 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &3x {}^{2} - 2x + 9 \\ \cancel{- 2x {}^{2}} + 11x - 8 \\ \cancel{+ 2x {}^{2}} - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 9x - 8 \: \: &\end{array}$

Multiplicando pelo dividendo:

$9.(x - 1) = \boxed{9x - 9}$

Passando com o sinal trocado:

$\begin{array}{r|c} \cancel{3x {}^{3}} - 5x { }^{2} + 11x - 8 &x - 1 \\ \cancel{- 3x {}^{3}} + 3 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: & \underbrace{3x {}^{2} - 2x + 9 }_{quociente} \\ \cancel{- 2x {}^{2}} + 11x - 8 \\ \cancel{+ 2x {}^{2}} - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \cancel{ 9x} - 8 \: \: \\ \cancel{- 9x} + 9 \: \: \\ \underbrace{(1)} _{resto} &\end{array}$

$\begin{cases}quociente = 3x {}^{2} - 2x + 9 \\ resto = 1 \end{cases}$

Através de Briot-ruffini:

$\begin{array}{r|c}1&3 \: \: \: - 5 \: \: \: \: \: \: 11 \: \: \: \: - 8 \\ &3 \: \: \: \: - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 \: \: \: \end{array} \\ \\ 3.1 - 5 =3 - 5 = \boxed{ - 2} \\ - 2.1 + 11 = \boxed{ 9} \\ 9.1 - 8 = \boxed{ 1}$

O último número resultante do método de Briot-ruffini representa o resto (1).

Para saber o grau, basta contar do 0 até a quantidade de graus a partir do número que representa o resto, ou seja, temos um polinômio do segundo grau, o primeiro número fica com o grau 2, segundo com o grau 1 e o terceiro fica independente.

$\begin{cases}quociente \rightarrow3.x {}^{2} - 2x + 9 \\ resto \rightarrow 1 \end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️