Question

Existe uma unica circuferencia que passa por (-3,2),(1,0),(-2,3) e (0,3). Represente a graficamente e forneça sua equação reduzida

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que quando uma circunferência passa por mais de dois pontos aí fica bem fácil de encontrar a sua equação reduzida. 
Então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que a circunferência passa nos seguintes pontos: A(-3; 2), B(1; 0), C(-2; 3) e D(0; 3). Faremos o seguinte: encontraremos a distância do centro C(x; y) a cada um dos pontos por onde a circunferência passa. Então será essa distância igual ao raio da circunferência, pois do centro C(x; y) a qualquer ponto por onde a circunferência passa teremos o seu raio, concorda?
Assim teremos:

i.a) Encontrando a distância (d) do ponto A(-3; 2) ao centro C(x; y):

d² = (x-(-3))² + (y-2)²
d² = (x+3)² + (y-2)² ---- desenvolvendo, teremos:
d² = x²+6x+9 + y²-4y+4 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
d² = x² + y² + 6x - 4y + 13       . (I)

i.b) Encontrando a distância (d) do ponto B(1; 0) ao centro C(x; y):

d² = (x-1)² + (y-0)² ----- desenvolvendo, temos:
d² = x²-2x+1 + y² ---- ordenando, teremos:
d² = x² + y² - 2x + 1          . (II)

i.c) Encontrando a distância (d) do ponto C(-2; 3) ao centro C(x; y):

d² = (x-(-2))² + (y-3)²
d² = (x+2)² + (y-3)²
d² = x²+4x+4 + y²-6y+9 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
d² = x² + y² + 4x - 6y + 13        . (III)

i.d) Encontrando a distância (d) do ponto D(0; 3) ao centro C(x; y):

d² = (x-0)² + (y-3)² --- desenvolvendo, temos:
d² = x² + y² - 6y + 9         . (IV)

ii) Agora veja que ficamos com o sistema formado pelas expressões (I), (II), (III) e (IV) e que são estas:

d² = x² + y² + 6x - 4y + 13       . (I)
d² = x² + y² - 2x + 1                 . (II)
d² = x² + y² + 4x - 6y + 13        . (III)
d² = x² + y² - 6y + 9               . (IV)

ii.a) Como tudo é igual a "d²",então poderemos igualar uma a outra indistintamente. Porém, apenas por conveniência, vamos igualar, inicialmente,  as expressões (I) e (III) e igualar as expressões (II) e (IV), ficando assim:

x² + y² + 6x - 4y + 13 = x² + y² + 4x - 6y + 13 --- aqui igualamos (I) a (III)
e
x² + y² - 2x + 1 = x² + y² - 6y + 9 ---- aqui igualamos (II) a (IV).

Trabalhando com a primeira igualdade acima, teremos:

x² + y² + 6x - 4y + 13 = x² + y² + 4x - 6y + 13 ---- passando tudo o que tem incógnita para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

x²+y²+6x-4y - x²-y²-4x+6y = 13-13 ---- reduzindo os termos semelhantes:
2x + 2y = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", ficando:

x + y = 0         . (V)

Trabalhando com a segunda igualdade, teremos:

x² + y² - 2x + 1 = x² + y² - 6y + 9 ---- passando tudo o que tem incógnita para o 1º membro e o que não tem para o segundo, ficaremos assim:

x²+y²-2x - x²-y²+6y = 9-1 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-2x + 6y = 8 --- para facilitar,poderemos dividir ambos os membros por "2", ficando assim:

-x + 3y = 4         . (VI)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado apenas pelas expressões (V) e (VI), e que são estas:

x + y = 0         . (V)
-x + 3y = 4         . (VI)

Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (V) com a expressão (VI). Assim:

x + y = 0 --- [esta é a expressão (V) normal]
-x+3y = 4 --[esta é a expressão (VI) normal]
--------------------- somando membro a membro, teremos:
0+4y = 4 --- ou apenas:
4y = 4
y = 4/4
y = 1 <--- Esta é a ordenada "y" do centro da circunferência.

Agora, para encontrar a abscissa "x" basta irmos em quaisquer uma das expressões e substituirmos "y" por "1". Vamos na expressão (V), que é esta:

x + y = 0 ---- substituindo-se "y" por "1", teremos:
x + 1 = 0
x = - 1 <--- Esta é a abscissa "x" do centro da circunferência.

Assim, o centro C(x; y) será o ponto C(-1; 1). E se x = -1 e y = 1, então vamos em quaisquer uma das primeiras expressões [ou a (I), ou a (II), ou a (III) ou a (IV) e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x'' e "y" por seus valores ora encontrados. Vamos na expressão (II), que está mais fácil de "manipular" e que é esta:

d² = x² + y² - 2x + 1 ---- substituindo-se "x" e "y" por seus valores, teremos:
d² = (-1)² + (1)² - 2*(-1) + 1
d² = 1 + 1 + 2 + 1
d² = 5 ------ mas como d² é igual ao raio, então substituiremos "d²" por "r²". Logo:

r² = 5 <--- Este é o raio da circunferência.

Assim, a equação reduzida será esta [lembre-se que a fórmula é esta: (x-x₀)² + (y-y₀)² = r²]. Então (note que r² já é igual a "5"]:

(x-(-1))² + (y-1)² = 5
(x+1)² + (y-1)² = 5 <--- Esta é a resposta.É a equação reduzida pedida.

Como eu não sei construir gráficos aqui no Brainly, então veja o gráfico no endereço abaixo e constate tudo o que se disse sobre a circunferência da sua questão.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B1)%C2%B2+%2B+(y-1)%C2%B2+%3D+5

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.