Question

Existe uma fórmula para calcular a soma das medida dos ângulos internos de um polígono . Imagine que,durante a realização de um concurso, você não se lembre dela. Escreva que raciocínio você faria para calcular aquela soma.

Answer 1

O raciocínio se dá a partir da observação de um padrão nos polígonos convexos regulares, observe:

Um triângulo possui a soma dos ângulos internos = 180°

Um quadrado possui a soma = 360°

Um pentágono = 540°

Ou seja, a cada + 1 lado que aumenta do polígono (partindo do triângulo), tem-se um aumento de 180° na soma total dos ângulos internos.

3 lados ---- 180°

4 lados ----- 360°

5 lados ------ 540°

6 lados ------- 720°

...

Como podemos perceber, cada valor da soma é a multiplicação de uma constante por 180°

3 lados -- 1 x 180° = soma

4 lados --- 2 x 180° = soma

5 lados ---- 3 x 180° = soma

Ou seja, essas 'constantes' podem ser escritas como:

k = qtd. de lados - 2

Assim, a fórmula ficaria:

Soma = k.180

Soma = (qtd. de lados-2).180

Descobrimos a fórmula:

S = (n-2).180°

Em que:

- n é a quantidade de lados

- S é a soma.

Answer 2

Resposta: S(n) = 180° x (n - 2)

Explicação passo-a-passo

A soma “S(n)” dos ângulos internos de um polígono convexo de “n” lados (“n” é um número natural maior ou igual a três) é dada por:

S(n) = (n - 2) x 180°

ou

S(n) = 180° x (n - 2)

Caso esqueça, procederemos do seguinte modo:

Escolha um vértice arbitrário (vértice qualquer) do polígono convexo de “n” lados e traçe todas as “n - 3” diagonais possíveis que partem desse vértice, com isso perceberemos que o polígono convexo subdividiu-se em “n - 2” triângulos (distintos ou não), logo a soma “S(n)” dos ângulos internos do polígono coincidirá com a soma dos ângulos internos dos “n - 2” triângulos, que por sua vez é dada por:

S(n) = 180° x (n - 2)

É sabido do Teorema Angular de Tales (ou Lei Angular de Tales) que a soma das medidas dos três ângulos internos de um triângulo é 180° (cento e oitenta graus), com isso a soma das medidas dos ângulos internos de “n - 2” triângulos é dada por:

S(n) = 180° x (n - 2)

Abraços!