Question

Existe um único par de números naturais, A e B, que tornam a expressão A² – B² = 43 verdadeira. Considerando este par de números, é correto afirmar que:
A) a soma destes 2 números é 1.
B) o quociente entre eles é 2.
C) a diferença entre eles é 2.
D) o produto entre eles é 462.

Answer 1

Resposta:

D) o produto entre eles é 462.

Explicação passo-a-passo:

A) a soma destes 2 números é 1.

$(A-B)(A+B)=43\\A+B=1\\(A-B)(1)=43\\A-B=43\\A=43+B\\(43+B-B)(43+B+B)=43\\43(43+2B)=43\\43+2B=1\\2B=-42\\B=-21$

Incorreto pois $B=-21$, não pertence aos números naturais.

B) o quociente entre eles é 2.

$\frac{A}{B}=2\\A=2B\\(2B-B)(2B+B)=43\\(B)(3B)=43\\3B^2=43\\B=\sqrt{\frac{43}{3} }$

Incorreto pois $B=\sqrt{\frac{43}{3} }$, não pertence aos números naturais.

C) a diferença entre eles é 2.

$A-B=2\\A=2+B\\(2+B-B)(2+B+B)=43\\(2)(2+2B)=43\\4+4B=43\\4B=39\\B=\frac{39}{4}$

Incorreto pois $B=\frac{39}{4}$, não pertence aos números naturais.

D) o produto entre eles é 462.

$AB=462\\A=\frac{462}{B} \\(\frac{462}{B}-B)(\frac{462}{B}+B)=43\\\frac{213444}{B^2}-B^2=43\\\frac{213444-B^4}{B^2}=43\\213444-B^4=43B^2\\B^4+43B^2-213444=0\\(B^2+\frac{43}{2})^2-\frac{855625}{4}=0\\B^2+\frac{43}{2} =\sqrt{\frac{855625}{4} } \\B^2=\frac{925}{2}-\frac{43}{2} \\B^2=441\\B=21\\A=\frac{462}{21} =22$

Correto pois $22*21=462$, A e B pertencem aos números naturais.