Question

existe um numero a tal que lim 3x² + ax + a + 3 / x² + x - 2 x-> -2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

Answer 1

Se quer encontrar "a" de tal maneira que $\displaystyle\lim_{x \to -2} \displaystyle\frac{3x^2+ax+a+3}{x^2+x-2}$

este limite exista. Assim primeiro observe que
$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$
isto é, o denominador é indeterminado em x=-2, logo para que o limite exista devemos levantar a indeterminação e para isto

3x^2+ax+(a+3) deve ser divisível por (x+2), em outras palavras x=-2 é raiz de 3x^2+ax+(a+3) logo

$3(-2)^2+a(-2)+a+3=0 \\ 3.4-2a+a+3=0 \\ 12-a+3=0 \\ a=15$

Assim 3x^2+ax+a+3=3x^2+15x+18=3(x^2+5x+6)=3(x+2)(x+3) e por tanto o limite é
$\displaystyle\lim_{x \to -2} \displaystyle\frac{3x^2+ax+a+3}{x^2+x-2}= \displaystyle\lim_{x \to -2} \displaystyle\frac{3x^2+15x+18}{x^2+x-2} \\ = \displaystyle\lim_{x \to -2} \displaystyle\frac{3(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-1)}=\displaystyle\lim_{x \to -2} \displaystyle\frac{3(x+3)}{(x-1)}=\displaystyle\frac{3(-2+3)}{-2-1}=\displaystyle\frac{3}{-3}=-1$