Question

existe um meio mais prático de resolver essa questão ?
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Answer 1

Existe dois meios : Por Radiciação e Pela Regra de L'hospitall :

A regra de L'hospitall diz que se :

$\displaystyle \lim_{\text x \to \text a} \frac{\text{f(a)}}{\text{g(a)}} = \frac{0}{0} \ ; \ \lim_{\text x \to \text a} \frac{\text{f(a)}}{\text{g(a)}} =\pm\frac{\infty}{\infty }$

Então podemos derivar o numerador e denominador até sumir com a indeterminação :

$\displaystyle \lim_{\text x \to \text a} [\frac{\text{f(a)}}{\text{g(a)}}]' = \frac{\text{f '(a)}}{\text{g '(a)}} = \frac{\text{f ''(a)}}{\text{g ''(a)}} = ...$

Temos o Limite :

$\displaystyle \lim_{\text x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}}$

ao fazer x = 4, temos :

$\displaystyle \lim_{\text x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}} \to \frac{3-\sqrt{5+4}}{1-\sqrt{5-4}}} \to \frac{0}{0}$(INDETERMINAÇÃO)

Então vamos derivar o numerador e o denominador :

$\displaystyle \lim_{\text x \to 4} [\ \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}} \ ]' = \frac{\displaystyle 0 - \frac{1}{2\sqrt{5+\text x}}}{\displaystyle0- \frac{-1}{2\sqrt{5-\text x}}} \\\\\\ \frac{1}{2\sqrt{5+\text x}}.\frac{2\sqrt{5-\text x}}{-1} \to \frac{-\sqrt{5-\text x}}{\sqrt{5+\text x }}$

Racionalizando :

$\displaystyle \lim_{\text x \to 4 } [\ \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}}\ ]' =\frac{-\sqrt{5-\text x }}{\sqrt{5+\text x}}$

Fazendo x = 4

$\displaystyle \frac{-\sqrt{5-4}}{\sqrt{5+4}} = \frac{-1}{3}$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \lim_{\text x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}} = \frac{-1}{3}}\checkmark$

2ª forma de fazer é por radiciação

$\displaystyle \lim_{\text x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}}$

Ao fazer x = 4 vai dar indeterminação. Então vamos racionalizar e ver no que dá :

$\displaystyle \frac{(3-\sqrt{5+\text x})}{(1-\sqrt{5-\text x})}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(1+\sqrt{5-\text x})} \to \frac{3+3\sqrt{5-\text x}-\sqrt{5+\text x}-\sqrt{25-\text x^2 }}{1-(5-\text x)}$

$\displaystyle \frac{3+2\sqrt{5-\text x}-\sqrt{25-\text x^2 }}{\text x-4}$

ao fazer x = 4 o denominador zera, então vamos racionalizar o numerador e denominador simultaneamente.

$\displaystyle \frac{(3-\sqrt{5+\text x})}{(1-\sqrt{5-\text x})}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(1+\sqrt{5-\text x})}.\frac{(3+\sqrt{5+\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) }$

$\displaystyle \frac{(3^2-(\sqrt{5+\text x})^2)}{(1^2-(\sqrt{5-\text x})^2)}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) }$

$\displaystyle \frac{9-(5+\text x)}{[1-(5-\text x)]}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) }$

$\displaystyle \frac{[4-\text x]}{[\text x-4]}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) } \to \frac{-[\text x-4]}{[\text x-4]}.\frac{(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) } \to \frac{-1.(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) }$

$\displaystyle \frac{-1.(1+\sqrt{5-\text x})}{(3+\sqrt{5+\text x}) }$

Isso tudo é o limite. fazendo x = 4 :

$\displaystyle \frac{-1.(1+\sqrt{5-\text 4})}{(3+\sqrt{5+\text 4}) } \to \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \lim_{\text x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+\text x}}{1-\sqrt{5-\text x}} = \frac{-1}{3}}\checkmark$

Comentário : Se você não souber derivada não tem problema.

Questões desse tipo requerem essa "sacada" de racionalizar o numerador e o denominador simultaneamente. Então já sabe, quando for assim lança a racionalização que sai.