Question

Existe um conceito chamado de “Ângulo de observação” em Sinalização Viária.

O Ângulo de observação é o ângulo formado pelas retas definidas entre o farol do veículo e o sinal (reta FS) e entre o sinal e os olhos do motorista (reta SO).

Sabendo que a coordenada do farol do veículo se encontra em F = (1,25 0 1,25), que um dos olhos do motorista se encontra no ponto O = (1,04 0,22 1,04) e que o elemento de sinalização se encontra no ponto
S = (0 1,26 0)

Determine o ângulo de observação nessa situação.

Answer 1

O ângulo de observação é, aproximadamente, 2,56°.

• O que são ângulos?

Denomina-se ângulo a região delimitada entre duas semirretas de mesma origem. Existem diversas unidades para o ângulo, dentre elas as mais comuns são: graus e radianos.

• Como encontrar ângulos entre retas?

Para encontrar o ângulo entre duas retas, devemos primeiro conhecer os vetores diretores delas. Encontrá-los não é nenhum desafio: basta saber dois pontos A e B pertencentes às retas e calcular o vetor AB que é dado por: B-A.

O segundo passo é aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores. Deduções à parte, conhecemo-na como:

$\large{\boxed{\mathsf{cos(\alpha) = \dfrac{u.v}{|u|.|v|}}}}$

Onde:

1. α é o ângulo em radianos.
2. u e v são vetores.
3. |u| e |v| são os módulos dos vetores.
4. u.v é o produto escalar dos dois vetores.

• Como resolver a questão?

O problema pede que encontremos o ângulo de observação para o motorista do caminhão. Para calculá-lo, precisamos encontrar o ângulo entre as retas:

1. FS: delimitada pelo farol do veículo e o sinal.
2. SO: delimitada pelo sinal e o olhos olhos do motorista.

O primeiro passo é calcular os vetores diretores dessas retas.

Sabendo que:

$\mathsf{F = (1{,}25, 0, 1{,}25)}\\\\\mathsf{O = (1{,}04, 0{,}22, 1{,}04)}\\\\\mathsf{S = (0, 1{,}26, 0)}$

Então, para a primeira reta FS:

$\mathsf{\overrightarrow{FS} = S - F = (0, 1{,}26, 0) - (1{,}25, 0, 1{,}25) = }~\boxed{\mathsf{(-1{,}25,1{,}26,-1{,}25)}}$

Já para a segunda reta SO:

$\mathsf{\overrightarrow{SO} = O - S = (1{,}04, 0{,}22, 1{,}04) - (0, 1{,}26,0) = }~\boxed{\mathsf{(1{,}04,-1{,}04,1{,}04)}}$

Pela fórmula do ângulo entre dois vetores, precisamos calcular o módulo de FS e SO e também o produto escalar entre eles.

$\mathsf{|\overrightarrow{FS}| = \sqrt{(-1{,}25)^2+1{,}26^2 + (-1{,}25)^2}}\approx \boxed{\mathsf{2{,}1708~unidades}}$

$\mathsf{|\overrightarrow{SO}| = \sqrt{1{,}04^2 + (-1{,}04)^2 + 1{,}04^2} \approx} ~ \boxed{\mathsf{1{,}8013~unidades}}$

$\boxed{\mathsf{|\overrightarrow{FS}|.|\overrightarrow{SO}| \approx 3,91042}}$

Quanto ao produto escalar:

$\mathsf{\overrightarrow{FS}.\overrightarrow{SO} = (-1{,}25,1{,}26,-1{,}25).(1{,}04,-1{,}04,1{,}04)}\\\\\mathsf{\Rightarrow -1{,}3 -1{,}3104 - 1{,}3 = }~\boxed{\mathsf{-3{,}9104}}$

Portanto, o ângulo será:

$\mathsf{cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{FS}.\overrightarrow{SO}}{|\overrightarrow{FS}|.|\overrightarrow{SO}|} = cos(\alpha) = \dfrac{-3{,}9104}{3{,}91042} = -0{,}9999}\\\\\\\mathsf{\Rightarrow \alpha = arccos(-0{,}9999})\Rightarrow \boxed{\alpha = \mathsf{177,44\°}}}$

Como as retas delimitam dois ângulos suplementares (cuja soma é 180°), escolheremos o menor para ser o ângulo de observação. Ou seja:

$\large{\textsf{\^Angulo de observa\c c\~ao:}~\mathsf{180\°-177{,}44\° = \boxed{\boxed{\mathsf{2{,}56\°}}}}}$

• Leia mais sobre retas e vetores em:

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