Question

Existe solução para log2 (x+1) + log2 (x-2)= 2?

Answer 1

Antes de resolver a equação

$\mathrm{\ell og}_{2\,}(x+1)+\mathrm{\ell og}_{2\,}(x-2)=2$


deve-se determinar as condições de existência dos logaritmos:


$\bullet\;\;$ Condições de existência:

As bases dos logaritmos devem ser positivas e diferentes de $\mathbf{1}$:

Os logaritmandos devem ser positivos:

$x+1>0\;\;\text{ e }\;\;x-2>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>-1\;\;\text{ e }\;\;x>2\\ \\ \Rightarrow\;\;x>2$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação:

$\mathrm{\ell og}_{2\,}(x+1)+\mathrm{\ell og}_{2\,}(x-2)=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{2\,}\left[(x+1)\,(x-2) \right ]=2\\ \\ \\ (x+1)\,(x-2)=2^{2}\\ \\ (x+1)\,(x-2)=4\\ \\ x^{2}-2x+x-2=4 x^{2}-x-2-4=0\\ \\ x^{2}-x-6=0$


Podemos resolver a equação acima pela fórmula de Bháskara ou qualquer outro método. Aqui, vamos resolver por fatoração.

Reescrevendo o termo $-x$ como $+2x-3x,$ temos

$x^{2}+2x-3x-6=0\\ \\ x\,(x+2)-3\,(x+2)=0\\ \\ (x+2)\,(x-3)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+2=0&\;\text{ ou }\;&x-3=0\\ \\ x=-2&\;\text{ ou }\;&x=3 \end{array}$


A solução $x=-2$ não serve, porque, pelas condições de existência, devemos ter $x>2.$


Então, ficamos com

$x=3$


O conjunto solução é

$S=\{3\}$