Question

Existe alguma fórmula para resolver esta conta rapidinho ou tem que resolver na Raça? Agradeço deis de já a Resposta.
Determine o resto da divisão por 5 do produto:
$83942^{359} * 7859^{207} * 948^{179} * 7496^{723}$
é?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Answer 1

Olá Poke.


Pra resolver essa questão é importante saber que, se pegarmos 2 números que deixam resto ao serem divididos por número, quando são multiplicados, os restos também são.

Exemplo:


$\mathsf{7~\cdot~9~=~63}\\\mathsf{\downarrow~~\downarrow}\\\mathsf{2~\cdot~4~=~8~~~\gets ~~restos~na~divis\~ao~por~5}$


Se você dividir 9 por 5 o resto será 4, e se dividir 7 por 5 o resto será 2, como foi colocado acima. Ao multiplicar 9 por 7 obtemos 63, e se multiplicarmos os restos obtemos 8.

Se dividirmos então o 63 e o 8 por 5, os restos serão os mesmos (3).

Sabendo também que o critério para um número ser dividido por 5 é terminar em 0 ou 5 tiramos as seguintes conclusões.

83.942 dividido por 5 dará resto 2, já que 2 - 0 = 2

7.859 dividido por 5 dará resto 4, já que 9 - 5 = 4

948 dividido por 5 dará resto 3, já que 8 - 5 = 3

7.496 dividido por 5 dará resto 1, já que 6 - 5 = 1


E como vimos antes, os restos de 2 números ao serem multiplicados também se multiplicam.


Portanto, podemos colocar da seguinte maneira.


$\mathsf{83.942^{359}\cdot 7.859^{207}\cdot948^{179}\cdot 7.496^{723}}\\\\\mathsf{2^{359}\cdot 4^{207}\cdot3^{179}\cdot 1^{723}~~\gets~~restos}\\\\\mathsf{2^{170+189}\cdot 4^{189+7+2+9}\cdot 3^{170+7+2}}\\\\\mathsf{2^{170}\cdot 2^{189}\cdot4^{189}\cdot 4^{7}\cdot 4^{2}\cdot 4^9\cdot 3^{170}\cdot 3^7\cdot 3^2}\\\\\mathsf{6^{170}\cdot8^{189}\cdot 12^{7}\cdot (4^{3})^3\cdot 12^2}\\\\\mathsf{\underbrace{1^{170}\cdot 3^{189}\cdot 2^{7}}\cdot \boxed{\mathsf{(64)^3\cdot 144}}~\to~resto~4}}\\\mathsf{~~~~restos}$

$\mathsf{(3^{3})^{63}\cdot2^{4+3}\cdot4^{2+1}\cdot 4}\\\\\mathsf{27^{63}\cdot 16\cdot 8\cdot16\cdot 16}\\\\\mathsf{2^{63}\cdot 1\cdot3\cdot1\cdot1~~~\gets~~~restos}\\\\\mathsf{(2^3)^{20+1}\cdot3}\\\\\mathsf{8^{20}\cdot 8\cdot 3}\\\\\mathsf{8^{20}\cdot 24}\\\\\mathsf{3^{20}\cdot 4~~\gets~restos}\\\\\mathsf{(3^4)^{5}\cdot 4}\\\\\mathsf{81^5\cdot 4}\\\mathsf{\downarrow~resto}$

$\mathsf{1^5\cdot\boxed{\mathsf{4}}}$


Aqui através de decomposições induzindo os restos a 1, já que qualquer número multiplicado a 1 é ele mesmo, chegamos ao resto 4.

Portanto, o resto da divisão do produto do enunciado por 5 é igual a 4!

Resposta (d)


Dúvidas? comente.

Answer 2

Sejam m = 5q + r e n = 5p + s. Vamos multiplicar membro a membro.

m.n =(5q + r)(5p+ s) = 25qp + 5qs + 5rs + rs
Perceba que somente o produto rs que é o produto dos restos não é divisível por 5; as demais parcelas são divisíveis, pois tem o fator 5.


83942³⁵⁹  Os algarismos das unidades são
a base x ela mesma termina em 4, vezes a base, termina em 8, vezes ela mesma termina em 6, vezes ela mesma termina em 2, daqui pra frente repete a sequencia: (2, 4, 8, 6) ; (2, 4, 8, 6 ) .....

83942¹ = ...............2 ( termina em 2)
83942² = ...............4
83942³ = ...............8
83942⁴ = ...............6
83942⁵ = ...............2 ( repetição)
359 : 4 = 89.4 + 3 isto é 89 grupos de 4 e sobram 3
Devemos escrever os três últimos termos da  sequência 2, 4, 8


7859²⁰⁷ Sequência: 9, 1, 9, 1 ...
207 : 2 = 103 . 2 + 1, logo o o termo da última sequência é  9

948¹⁷⁹  sequência (8, 4, 2, 6),(8, 4, 2, 6) ... 
179 : 4 = 44 . 4 + 3
Os três últimos são  são: 8, 4, 2

7496⁷²³ , termina em 6, pois 6.6.6. ... termina sempre em 6.

Analisando o produto dos últimos algarismo de cada fator, temos:
8 . 9 . 2. 6 = 864 que dividido por 5 dá resto 4


Letra D