Exercícios de Matemática (2° EJA)
Prof: RÁIZE ARAUJO
Aluno:
Data:
1) Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, ..). Determine o
seu 15° termo da sequência.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
a1 = 10
a2 =17
a3 = 24
r = 17 - 10 = 7 >>>>
an = a1 + ( n - 1).r
a15 = a1 + 14r
a15 = 10 + 14 .( 7 )
a15 = 10 + 98
a15= 108 >>>>
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (10, 17, 24,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 7 unidades (por exemplo, 17=10+7) e 24=17+7). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 10
d)décimo quinto ou 15º termo (a₁₅): ?
e)número de termos (n): 15
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do décimo quinto termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 17 - 10 ⇒
r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quinto termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₅ = 10 + (15 - 1) . (7) ⇒
a₁₅ = 10 + (14) . (7) ⇒
a₁₅ = 10 + 98 ⇒
a₁₅ = 108
RESPOSTA: O 15º termo da P.A. (10, 17, 24, ...) é 108.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₅ = 108 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
108 = a₁ + (15 - 1) . (7) ⇒
108 = a₁ + (14) . (7) ⇒
108 = a₁ + 98 ⇒
108 - 98 = a₁ ⇒
10 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 10 (Provado que a₁₅ = 108.)
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