Question

EXERCÍCIOS DE LIMITE AJUDA POR FAVOR

Answer 1

f) Temos que:

$\sf \lim_{x \rightarrow -1} \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x}$

• Como sempre, devemos confirmar se há ou não indeterminação, para isso devemos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} = \frac{5 - \sqrt{25} }{25 - 25} = \frac{5 - 5}{0} = \frac{0}{0}$

De fato, surgiu uma indeterminação. Para sumir com essa barreira, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, pois queremos sumir com a indeterminação e consequentemente a raiz.

$\rightarrow \sf \frac{5 - \sqrt{x} }{2 5 - x} . \frac{5 + \sqrt{x} }{5 + \sqrt{x} } = \frac{5.5 +5 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} - \sqrt{x}. \sqrt{x} }{(2 5 - x).(5 + \sqrt{x}) } = \\ \\ = \sf \frac{ \cancel{25 -x }}{( \cancel{25 - x}).(5 + \sqrt{x}) } = \frac{1}{5 + \sqrt{x} }$

Pronto, matamos a indeterminação, agora podemos substituir o valor a qual o "x" tende e encontrar o valor do limite.

$\sf \frac{1}{5 + \sqrt{x} } = \frac{1}{5 + \sqrt{25} } = \frac{1}{5 + 5} = \boxed{\sf\frac{1}{10} }$

Portanto:

$\boxed{\sf \lim_{x \rightarrow -1} \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} = \frac{1}{10} }$

g) Temos que:

$\sf \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{x}. \left( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} \right)$

Esse não vamos fazer a substituição do valor a qual o "x" tende, pois de cara vemos que isso vai resultar sim em uma indeterminação.

• Vamos começar resolvendo a expressão dentro do parêntese:

$\rightarrow\sf\frac{3}{x} \left( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} \right) = \frac{3}{x} \left( \frac{1.(5 - x) - 1.(5 + x)}{(5 + x).(5 - x)} \right) = \\ \sf \\ = \sf\frac{3}{x} . \left( \frac{5 - x - 5 - x}{(5 - x).(5 + x)} \right) = \frac{3}{x} . \left( \frac{ - 2x}{(5 - x).(5 + x)} \right) = \\ \\ \sf = \frac{3}{x} . \frac{ - 2 x}{(5 - x).(5 + x)} = \frac{ - 6x}{x.(5 - x).(5 + x)} = \\ \\ \sf = \frac{ - 6 \cancel{x}}{ \cancel{x}.(5 - x).(5 + x)} = \frac{ - 6}{(5 - x).(5 + x)}$

Pronto, sumimos com a indeterminação, agora é só substituir o valor a qual o "x" tende e finalizar a questão.

$\sf \frac{ - 6}{(5 + x).(5 - x)} = \frac{ - 6}{(5 +0).(5 -0)} = \frac{ - 6}{5.5} = \boxed{\sf \frac{ - 6}{25} }$

Portanto:

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{x}. \left( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} \right) = - \frac{6 }{25} }$

Espero ter ajudado