Question

Exercícios de Equações Receita e Lucro Quadrático


01 – Dada a função de demanda P = 20 - 2x e a função custo
C = 5 + x


a)    Obtenha
o valor de x que maximiza a receita.


b)    Obtenha
o valor de x que maximiza o lucro.

Answer 1

R(x) = função Receita

A função Demanda relaciona a quantidade procurada x e o preço unitário. Logo,

R(x) = x.P(x) = x(20-2x) = 20x-2x^2

L(x) = R(x)-C(x) = 20x-2x^2-(5+x) = 20x-2x^2-5-x = -2x^2+19x-5

a) x_v de R(x) = -b/2a = -20/(2*(-2)) = -20/-4 = 5
b) x_v de L(x) = -b/2a = -19/(2*(-2)) = -19/(2*(-2)) = -19/-4 = 4,75

Answer 2

A - O valor de X que maximiza a receita é 5.

B - O valor de X que maximiza o lucro é 4,75.

Inicialmente, vamos determinar a função receita. Veja que temos a função demanda. A função receita será equivalente a função demanda multiplicada pelo preço.

$R(x)=(20-2x)x=20x-2x^2$

Veja que o coeficiente angular é negativo, logo, essa função possui ponto de máximo. Então, para determinar o valor de X que maximiza a receita, devemos derivar essa função e igualar o valor dela a zero. Assim:

$R'(x)=20-4x=0\\ \\ \boxed{x=5}$

Agora, vamos determinar a função lucro, resultado da diferença entre receita e custo. Desse modo, temos a seguinte equação:

$L(x)=20x-2x^2-(5+x)=-2x^2+19x-5$

Novamente, veja que o coeficiente angular é negativo, o que garante um ponto de máximo no gráfico dessa equação. Por fim, basta derivar essa nova equação e calcular o valor de X equivalente. Portanto:

$L'(x)=-4x+19=0\\ \\ \boxed{x=4,75}$

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