Question

Exercício
$\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[-3]{7} }{x-7} \geq 0$

Answer 1

Temos algumas considerações iniciais:

i → Devido as propriedades da divisao, se:

(+A) ÷ (+B) teremos um resultado maior que zero

(-A) ÷ (-B) teremos um resultado maior que zero

(+A) ÷ (-B) teremos um resultado menor que zero

(-A) ÷ (+B) teremos um resultado menor que zero

ii → ${\large\sqrt[n]{A^m}=A^{m/n}}$

-m/n = - (m/n)  e  m/-n = - (m/n)

$\large{\frac{-m}{n}=-\frac{m}{n}\therefore\frac{m}{-n}=-\frac{m}{n} }$

Façamos o numerador como a função G(X) e o denominador como a funcao H(X). Iremos estudar o sinal dessas funcoes para satisfazermos i (G(X) ≥ 0 e F(X) ≥ 0)

G(X) = ∛X - $\sqrt[-3]{7}$

$(\large{\sqrt[-3]{7}=7^{1/-3}=7^{-1/3}=\frac{1}{7^{1/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{7}}})$

Fazendo G(X) ≥ 0

∛X - $\sqrt[-3]{7}$ ≥ 0

∛X ≥ $\sqrt[-3]{7}$

∛X ≥ $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$

racionalizando o denominador do 2º membro ( $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$) (multiplica tudo por ∛7²)

$\large{\frac{1}{\sqrt[3]{7}}\cdot \frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}}=\frac{\sqrt[3]{7^2}}{7}}$

∛X ≥ ∛7²/7    elevando ambos membros ao cubo para obter X

(∛X)³ ≥ (∛7²/7)³

X ≥ 7²/7³

X ≥ 1/7  (quando X é maior igual que 1/7, a funcao F(X) é positiva)

Agora H(X)

H(X) = X - 7

X - 7 ≥ 0

X ≥ 7  POREM o denominador nao pode ser zero, logo

X > 7  (quando X é maior que 7, a funcao H(X) é positiva)

Conforme anexo concluímos que

S = {X∈$\mathbf{\large\mathbb{R}}$| X ≤ 1/7 ou X > 7}