Exercício sobre números complexos
Soluções para a tarefa
Sendo z = a + bi, então z¯ = a - bi.
Daí, temos:
2z + iz¯ = 9 - 3i
2(a + bi) + i(a - bi) = 9 - 3i
2a + 2bi + ai - bi² = 9 - 3i
Sabe-se que i² = -1, logo:
2a + 2bi + ai - b.(-1) = 9 - 3i
2a + 2bi + ai + b = 9 - 3i
2a + b + 2bi + ai = 9 - 3i
2a + b + (2b + a)i = 9 - 3i
Do lado direito da equação, temos um número complexo cuja parte imaginária é o -3i. Do lado esquerdo da equação, também temos um número complexo, mas sua parte imaginária é o (2b + a)i. Como os dois números devem ser iguais, então podemos afirmar que suas partes imaginárias são iguais, ou seja, 2b + a = -3. Seguindo a mesma lógica, a parte real do lado direito deve ser igual à parte real do lado esquerdo, ou seja, 2a + b = 9.
Temos um sistema de duas equações:
2b + a = -3
2a + b = 9
Para resolver esse sistema, isolamos "a" na primeira equação:
2b + a = -3
a = -3 - 2b
E substituímos esse valor de "a" na segunda equação:
2a + b = 9
2(-3 - 2b) + b = 9
-6 - 4b + b = 9
-6 - 3b = 9
-3b = 9 + 6
-3b = 15
b = 15/-3
b = -5
Se b = -5, então:
a = -3 - 2b
a = -3 - 2.(-5)
a = -3 + 10
a = 7
Portanto:
z = ai + b
z = 7i - 5