Question

Exercício sobre limites, demonstre

Answer 1

Da definição de limite temos:

dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que

$|x-a|<\delta\Rightarrow\ | \sqrt{x}-\sqrt{a}|<\epsilon$

Então basta encontrarmos um $\delta>0$ onde essa implicação faça sentido, utilizando a dica do enunciado na segunda inequação

$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\dfrac{|x-a|}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<\epsilon \Rightarrow |x-a|\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<\epsilon$

Agora se limitarmos o fator $\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$ vamos poder isolar o $|x-a|$ e encontrar o $\delta$, façamos então

$|x-a|<\dfrac{a}{2}$ utilizando algumas propriedades de módulo

$-\dfrac{a}{2}<x-a<\dfrac{a}{2} \Rightarrow a-\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2}+a \Rightarrow \dfrac{a}{2}<x<\dfrac{3a}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{a}{2}}<\sqrt{x}<\sqrt{\dfrac{3a}{2}}\Rightarrow \sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}<\sqrt{x}+\sqrt{a}<\sqrt{\dfrac{3a}{2}}+\sqrt{a}$

Elevando tudo a -1, chegamos em

$\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{3a}{2}}+\sqrt{a}}<\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}<\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}}\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}<\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}}$

Agora voltando em $|x-a|\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<\epsilon$ como $\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}<\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}}$,

obtemos então que:

$|x-a|\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<\epsilon\Rightarrow |x-a|\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}}<\epsilon\Rightarrow |x-a|<\epsilon\cdot\left(\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}\right)$

Por fim, como fizemos $|x-a|<\dfrac{a}{2}$  basta tomar $\delta=min\left\{\dfrac{a}{2},\epsilon\cdot\left(\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}\right)\right\}$ que teremos

$|x-a|<\delta\Rightarrow\ | \sqrt{x}-\sqrt{a}|<\epsilon$