Question

EXERCÍCIO – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS


1°) Identifique as  posições relativas entre as retas abaixo: 

a)  y= 2x – 2    e    4x – 2y – 4 = 0



b) 5x – 2y + 6 = 0     e     - 10x + 4y + 1 = 0



c) 3x + y – 4 = 0     e     - 3x + 2y + 4 = 0



d) x – y =1     e     x + y – 3 = 0



2°) Obtenha a equação reduzida da reta que passa em (- 2, - 5) e perpendicular a 2x – y + 10 = 0.




3°) Obtenha b e c de modo que a reta (r) y = 13x + 2 seja paralela coincidentes com a reta (s) 2x + by + c = 0.




​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=>> 1)

a)  y= 2x – 2    e    4x – 2y – 4 = 0

$\mathsf{ y= 2x - 2 ~ e~ - 2y= -4x+4}$

$\mathsf{ y= 2x -2 ~ e~ y=\frac{ -4x}{-2}+\frac{+4}{-2}}$

$\mathsf{ y= 2x- 2 ~e~ y=2x-2}$

paralelas coincidentes

b) 5x – 2y + 6 = 0     e     - 10x + 4y + 1 = 0

$\mathsf{ -2y= -5x - 6~~ e~~ 4y=+10x-1}$

$\mathsf{ y=\frac{ -5x}{-2} +\frac{-6}{-2}~~ e~~ y=\frac{ +10x}{4}+\frac{-1}{4}}$

$\mathsf{ y=\frac{ 5x}{2} +3~~ e~~ y=\frac{ 5x}{2}-\frac{1}{4}}$

Paralelas

c) 3x + y – 4 = 0     e     - 3x + 2y + 4 = 0

$\mathsf{ y=-3x+4~~ e~~ y=\frac{ +3x}{2}+\frac{-4}{2}}$

$\mathsf{ y=-3x+4~~ e~~ y=\frac{ 3x}{2}-2}$

concorrentes

d) x – y =1     e     x + y – 3 = 0

$\mathsf{ -y= -x +1 ~~ e~~ y=-x+3}$

$\mathsf{ y= +x -1 ~~ e~~ y=-x+3}$

Perpendiculares

=>> 2)

$\mathsf{ 2x -y +10=0~~ =>> -y=-2x-10}$

$\mathsf{ y= 2x +10 }$

$\mathsf{ y=- \frac{1x}{2} +b~~ =>> -5=- \frac{1(-2)}{2} +b}$

$\mathsf{ -5= 1+b~~ =>> b=-6}$

$\mathsf{ y=- \frac{1x}{2} -6}$

=>> 3)

B=>

$\mathsf{ by=-2x-c}$

$\mathsf{ y=-\frac{2x}{b}+\frac{-c}{b}}$

$\mathsf{ \frac{-2}{b}=13=>>-\frac{2}{13}}$

C=>

$\mathsf{ \frac{-c}{b}=2=>>\frac{-c}{-\frac{2}{13}}}$

$\mathsf{ \frac{13c}{2}=2=>>13c=4}$

$\mathsf{c=\frac{4}{13}}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Geometria analítica !

Posiçôes relativas :

A) dada as rectas :

y = 2x — 2 e 4x — 2y — 4 = 0

Para saber a posição relativa entre duas rectas , basta reduzir as equações e comparar os seus declives , se os seus declives forem iguais , então diremos que as rectas são paralelas , e quando o múltiplo dos seus declives for -1 , diremos que as rectas são perpendiculares.

Vamos reduzir a segunda equação :

2y = 4x - 4 , vamos dividir toda a equação por 2 :

y = 2x — 2 , então vamos ter as seguintes equações :

y = 2x - 2 e y = 2x - 2 , note que as rectas são iguais , então dizemos que as rectas são paralelas coincidentes pois apresentam todos os pontos em comum .

B) dada as rectas :

5x - 2y + 6 = 0 e -10x + 4y + 1 = 0

Vamos reduzir as equações

2y = 5x + 6

y = (5/2)x + 3

Vamos reduzir a segunda equação :

4y = 10x - 1

y = (5/2)x — 1/4

Note que essas rectas possuem o mesmo declive , então dizemos que elas são paralelas .

C) 3x + y — 4 = 0 e —3x +2y + 4 = 0

Reduzindo as equações :

y = -3x + 4 e y = (3/2)x — 2

Note que essas rectas possuem declives diferentes , então vamos multiplicar :

-3 • (3/2) = -9/2 , note que o múltiplo dos seus declives é diferente de -1 , logo eles não são perpendiculares e nem paralela , logo dizemos que elas são concorrentes. .

d) x — y = 1 e x + y — 3 = 0

y = x — 1 e y = -x + 3

Vamos multiplicar os seus declives :

1 • (-1) = -1 , logo as rectas são perpendiculares .

2) Escrever a equação reduzida que passa pelo ponto (-2 , -5) e é perpendicular a recta 2x — y + 10 = 0

Equação do tipo :

y = mx + n , onde m é o declive da recta , substituindo os pontos dado :

-5 = m • (-2) + n

-2m + n = -5 , note que ele deve ser perpendicular a y = 2x + 10

então o múltiplo dos seus declives deve ser -1 :

m • 2 = -1

m = $\mathtt{-\dfrac{1}{2}}$

Vamos agora achar o Coeficiente linear (n) :

$\mathtt{ -5~=~-\dfrac{1}{2} \cdot (-2) + n }$

$\mathtt{ n~=~-5 - 1 }$

$\boxed{\mathtt{n~=~-6 } }$

Montando a equação :

$\green{\boxed{\boxed{\mathtt{y~=~-\dfrac{1}{2}x - 6 } } } }$

3) Obter b e c de modo que a recta (r) y = 13x + 2 seja paralela coincidente com a recta (s) 2x + by + c = 0

para que as rectas seja paralelas coincidentes é necessário que as rectas seja iguais .

Recta (r) 13x + 2 = y

Recta (s) y = $\mathtt{ -\dfrac{2}{b}x - \dfrac{c}{b} }$

Então por comparação podemos ter :

$\begin{cases} \mathtt{ -\dfrac{2}{b}~=~13 } \\ \\ \mathtt{ -\dfrac{c}{b}~=~2 } \end{cases} \to ~ \begin{cases} \mathtt{13b~=~-2 } \\ \\ \mathtt{ 2b~=~-c } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ b~=~-\dfrac{2}{13} } \\ \\ \mathtt{ c~=~-2\Big( -\dfrac{2}{13} \Big)~=~\dfrac{4}{13} } \end{cases}$

$\boxed{\mathtt{ \red{ b~=~-\dfrac{2}{13}~e~c~=~\dfrac{4}{13} } } } }$

Espero ter ajudado bastante!)