Question

Exercício de trigonometria, gabarito letra c

Answer 1

Bem, farei um pouco diferente da resolução do caro Dex.

i) Façamos $a=\frac\pi4-x$; teremos que $\frac\pi4+x=a+2x$, só pra economizar um pouco na hora de digitar. Perceba, ainda, que

$\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta}{\cos\theta}$

Daí teremos:

$\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}(a+2x)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}a=\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x)}{\cos(a+2x)}-\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}a}{\cos a}\\ \\ \mathrm{tg}\hspace{0,2mm}(a+2x)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}a=\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x)\cos a-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}a\cos(a+2x)}{\cos(a+2x)\cos a}$

ii) Agora vamos usar as fórmulas, que serão três (ou quatro) no total:

$1- \ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(m-n)=\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}m\cos n-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}n\cos m\\ \\ 2- \ \cos(a+b)=\cos m\cos n-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}m\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}n\\ \\ 3- \ \cos(a-b)=\cos m\cos n+\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}m\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}n$

(a quarta seria um caso particular da segunda: $\cos(2m)=\cos^2m-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}m$)

Calculando, inicialmente, o denominador da fração que apareceu ao fim de i) usando as fórmulas que citei anteriormente teremos:

$\cos(a+2x)\cos a=\cos\left(\frac\pi4+x\right)\cos\left(\frac\pi4-x\right)\\ \\ \cos(a+2x)\cos a=\left(\cos\frac\pi4\cos x-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\frac\pi4\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x\right)\left(\cos\frac\pi4\cos x+\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\frac\pi4\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x\right)\\ \\ \cos(a+2x)\cos a=\cos^2\frac\pi4\cos^2x-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\frac\pi4\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x$

Sabe-se que $\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$, portanto $\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\frac\pi4=\cos^2\frac\pi4=\frac12$. Substituindo isso teremos:

$\cos(a+2x)\cos a=\frac12\cos^2x-\frac12\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x\\ \\ \cos(a+2x)\cos a=\frac12(\cos^2x-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x)\\ \\ \boxed{\cos(a+2x)\cos a=\frac12.\cos(2x)}$

Agora perceba que o numerador é muito parecido com a primeira fórmula que citei. Usando-a teremos:

$\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x)\cos a-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}a\cos(a+2x)=\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x-a)\\ \\ \boxed{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x)\cos a-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}a\cos(a+2x)=\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2x)}$

iii) Agora é só substituir o que encontramos acima na fração:

$\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}(a+2x)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}a=\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(a+2x)\cos a-\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}a\cos(a+2x)}{\cos(a+2x)\cos a}=\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2x)}{\frac12.\cos(2x)}\\ \\ \mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4+x\right)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4-x\right)=2.\frac{1}{\mathrm{cotg}\hspace{0,2mm}(2x)}\\ \\ \mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4+x\right)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4-x\right)=2.5$

$\boxed{\boxed{\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4+x\right)-\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\left(\frac\pi4-x\right)=10}}$