Question

Exercício de Trigonometria

Answer 1

$f(x) = 0 \\ \\ \frac{cos^2(x)}{sen^2(x)} - \frac{5}{4sen^2(x)} + 2 = 0 \\ \\ \frac{4cos^2(x) - 5 + 8sen^2(x)}{4sen^2(x)}  = 0 \\ \\ Df =  sen(x) \neq 0 \\ \\ 4cos^2(x) - 5 + 8sen^2(x) = 0 \\ 4(1 - sen^2(x)) - 5 + 8sen^2(x) = 0 \\ 4 - 4sen^2(x) - 5 + 8sen^2(x) = 0 \\ 4sen^2(x) - 1 = 0 \\ \\ sen^2(x) = \frac{1}{4} \\ \\ sen(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \\ \\ sen(x) = \pm \frac{1}{2}$

As raízes são:

$x = \frac{5\pi}{6} <==> \frac{7\pi}{6} <==> \frac{11\pi}{6} <==> \frac{13\pi}{6} <==> \frac{17\pi}{6} \\ \\ S = \frac{5\pi}{6}+ \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} + \frac{13\pi}{6}+ \frac{17\pi}{6}  \\ \\ S = \frac{53\pi}{6}$

Provavelmente letra b)

Answer 2

Resposta:

letra a. 4π

Explicação passo-a-passo:

Para achar as raízes da função, deve-se igualar ela a zero.

$\cot^2x-{5\over4\sin^2x}+2=0$

I. Passando o 2 negativo:

$\cot^2x-{5\over4\sin^2x}=-2$

II. Multiplicando todas as expressões pelo denominador da fração (4sin^2x):

$4\sin^2x\cdot\cot^2x-4\sin^2x\cdot{5\over4\sin^2x}=-2\cdot\sin^2x$

III. Como cotangente é cosseno sobre seno e simplificando as frações:

$4\sin^2x\cdot{\cos^2x\over\sin^2x}-5=-2\cdot4\sin^2x$

Simplificando:

$[tex]4\cos^2x-5=-8\cdot\sin^2x$[/tex]

IV. Utilizando a identidade trigonométrica $\sin^2x+\cos^2x=1$ para substituir o seno:

$4\cos^2x-5=-8\cdot(1-\cos^2x)$

$4\cos^2x-5=-8+8\cos^2x$

Isolando o cosseno:

$3=4\cos^2x$

${3\over4}=\cos^2x$

$\cos x={\sqrt{3}\over2}$

V. Sabendo que o valor de √3/2 igual a cosseno de π/6 rad. +2πk ou 11π/6 +2πk (em que k ∈ N) , temos:

$\cos x=\cos{\pi\over6}+2\pi k}$

ou

$\cos x=\cos{11\pi\over6}+2\pi k}$

VI. Anulando os cossenos:

$x={\pi\over6}+2\pi k$

ou

$x={11\pi\over6}+2\pi k$

VI. Observando os valores do ângulo que pertencem ao intervalo $[{\pi\over2},3\pi]$, vemos que são eles 13π/6 e 11π/6.

VII. Somando os ângulos:

${13\pi\over6}+{11\pi\over6}$

Sendo os valores do denominador iguais, então podemos somar o numerador:

${13\pi+11\pi\over6}$

${24\pi\over6}$

Simplificando a expressão por 6:

$4\pi$