Question

Exercício de Taxas RelacionadasUm helicóptero da polícia rodoviária sobrevoa umaautoestrada a 3 milhas do solo a uma velocidade constante de 120 mi/h.O piloto vê um carro se aproximando e o radar assinala que no instante da observação adistância entre o helicóptero e o carro é de 5 milhas.A distância entre elesdiminui a uma taxa de 160 mi/h. Calcule a velocidade do carro.(Tem que ser resolvido usando taxas relacionadas)

Answer 1

dados:
D= distancia entre o carro e o helicoptero = 5 mi
dD/dt = a taxa que a distancia entre os dois varia = -160 mi/h
a = altura do helicoptero = 3
V = velocidade do helicoptero = 120 mi/h
 h= distancia na horizontal entre o carro e o helicoptero 

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a distancia entre o helicoptero e o carro é a hipotenusa de um triangulo

$D^2=h^2+a^2$

derivando em relação ao tempo 
-> a distancia entre o carro e o helicoptero varia em relação ao
-> a altura do helicoptero permanece constante
-> a distancia horizontal varia em relação ao tempo: 


$\frac{d}{dt} (D^2) = \frac{d}{dt} (h^2+a^2)\\\\ \frac{d}{dt} (D^2)= \frac{d}{dt} (h^2)+ \frac{d}{dt} (a^2)\\\\ 2D\; * \frac{dD}{dt} = 2h* \frac{dh}{dt} +0\\\\ \boxed{ \boxed{D*\frac{dD}{dt} = h* \frac{dh}{dt} }}$

lembrando que
a distancia entre o carro e o helicoptero varia de acordo com suas velocidade
dh/dt = (Vhelicoptero) - (Vcarro)

$D*\frac{dD}{dt} = h*(V_{helicoptero} - V_{carro})\\\\ 5*(-160)=h*(120-V_{carro})\\\\ \boxed{\boxed{\frac{800}{h}-120 =V_{carro}}}$
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falta encontrar a posição do carro para resolver: 
no instante em que temos  a observação
$D^2=h^2+a^2\\\\5^2=h^2+3^2\\\\\boxed{4=h}$

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voltando na equação anterior
$\frac{800}{x} = \frac{dx}{dt} \\\\ \frac{800}{4}= \frac{dx}{dt} \\\\20$

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$\frac{800}{h}-120 =V_{carro}\\\\ \frac{800}{4}-120 =V_{carro}\\\\200-120=V_{carro}\\\\\boxed{\boxed{ 80=V_{carro}}}$