Question

Exercício de potenciação, alguém pode me ajudar ?

Answer 1

$\left\{ \begin{array}{l} x^{4}\cdot y^{-2}=81\\ x^{2}\cdot y^{-4}=729 \end{array} \right.$

onde $x,\;y>0$.

Multiplicando os dois lados da segunda equação por $y^{4}$, temos

$x^{2}\cdot y^{-4}\cdot y^{4}=729\cdot y^{4}\\ \\ x^{2}\cdot y^{-4+4}=3^{6}\cdot y^{4}\\ \\ x^{2}\cdot y^{0}=3^{6}\cdot y^{4}\\ \\ x^{2}\cdot 1=3^{6}\cdot y^{4}\\ \\ x^{2}=3^{6}\cdot y^{4}$


Substituindo na primeira equação, temos

$x^{4}\cdot y^{-2}=3^{4}\\ \\ \left(x^{2}\right)^{2}\cdot y^{-2}=3^{4}\\ \\ \left(3^{6}\cdot y^{4} \right )^{2}\cdot y^{-2}=3^{4}\\ \\ 3^{6\,\cdot\,2}\cdot y^{4\,\cdot 2}\cdot y^{-2}=3^{4}\\ \\ 3^{12}\cdot y^{8-2}=3^{4}\\ \\ y^{6}=\dfrac{3^{4}}{3^{12}}\\ \\ y^{6}=3^{4-12}\\ \\ y^{6}=3^{-8}\\ \\ y=3^{\,^{-8}\!\!\!\diagup\!\!_{6}}\\ \\ y=3^{\,^{-4}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}$


Voltando para encontrar o $x$, temos

$x^{2}=3^{6}\cdot \left(3^{\,^{-4}\!\!\!\diagup\!\!_{3}} \right )^{4}\\ \\ x^{2}=3^{6}\cdot 3^{\,^{-16}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ x^{2}=3^{6\,^{-16}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ x^{2}=3^{\,^{\left(18-16 \right )}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ x^{2}=3^{\,^{2}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ x=3^{\,^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}$


Então,

$x \cdot y\\ \\ =3^{\,^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\cdot 3^{\,^{-4}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ =3^{\,^{1}\!\!\!\diagup\!\!_{3}\,^{-4}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ =3^{\,^{-3}\!\!\!\diagup\!\!_{3}} =3^{-1}\\ \\ =\dfrac{1}{3}$


Resposta: alternativa $\text{b) }\dfrac{1}{3}$