Question

Exercício de polinômios
determine A,B,C na decomposição

$\frac{1}{x^3-1}$=$\frac{a}{x-1}$+$\frac{bx+c}{x^2+x+1}$

Cheguei ate aqui sem problema
$\frac{1}{x^3-1}$=$\frac{a(x^2+x+1)+bx+c(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

porem estou com dificuldade de como encontrar os valores
O denominador eu conseguir chegar a igualdade.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jason, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar os valores de "a", "b" e "c" tendo por base a seguinte expressão:

1/(x³-1) = a/(x-1) + (bx+c)/(x²+x+1) ------------------- note que o mmc, no 2º membro, é (x-1)*(x²+x+1). Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

1/(x³-1) = [a*(x²+x+1) + (bx+c)*(x-1)]/(x-1)*(x²+x+1) ----- desenvolvendo, teremos:

1/(x³-1) = [ax²+ax+a + bx²-bx+cx-c]/(x-1)*(x²+x+1) ----- agora note que o denominador (x-1)*(x²+x+1) nada mais é do que (x³-1). Então vamos substituir, ficando assim:

1/(x³-1) = (ax²+ax+a + bx²-bx+cx-c)/(x³-1) ------ agora note que podemos multiplicar ambos os membros por (x³-1), com o que poderemos simplificar cada membro por (x³-1) e, assim, passaremos a trabalhar apenas com os numeradores, ou seja, ficaremos assim:

1 = ax² + ax + a + bx² - bx + cx - c ----- vamos no 2º membro e colocaremos em evidência "x²" nos fatores "ax²+bx²" e "x" nos fatores "ax - bx + cx". Fazendo isso, ficaremos assim:

1 = (a + b)x² + (a-b+c)x + a-c ----- note que poderemos inverter, ficando assim:

(a+b)x² + (a-b+c)x + a-c = 1 ----- no 2º membro vamos "preencher" com "zero" os termos em "x²" e em "x", ficando assim:

(a+b)x² + (a-b+c)x + a-c = 0x² + 0x + 1 ----- agora basta que igualemos os termos do 1º membro aos termos correspondentes do 2º membro. Ou seja, igualaremos os termos em "x²" do 1º membro aos termos também em "x²" do 2º membro; igualaremos os termos em "x" do 1º membro com os termos em "x" do 2º membro; e finalmente, igualaremos os termos independentes do 1º membro aos termos independentes do 2º membro. Fazendo isso, formaremos o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:

{a + b = 0       . (I).

{a - b + c = 0    . (II) .

{a - c = 1        . (III).

ii) Agora vamos trabalhar com o sistema acima. Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (II) e (III). Fazendo isso teremos:

a - b + c = 0 --- [esta é a expressão (II) normal]

a ...... - c = 1 ---- [esta é a expressão (III) normal]

------------------------------ somando membro a membro, teremos:

2a - b + 0 = 1 ----- ou apenas:

2a - b = 1      . (IV).

Agora faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (IV). Fazendo isso, teremos:

a + b = 0 ---- [esta é a expressão (I) normal]

2a - b = 1 --- [esta é a expressão (IV) normal]

----------------------------- somando-se membro a membro, teremos:

3a + 0 = 1 ---- ou apenas:

3a = 1 ---- isolando "a", ficaremos com:

a = 1/3 <--- Este é o valor de "a".

Agora para encontrar o valor de "b", vamos na expressão (I), que é esta:

a + b = 0 ---- substituindo-se "a' por "1/3", teremos:

1/3 + b = 0 ---- isolando "b", teremos:

b = - 1/3 <--- Este é o valor de "b".

Finalmente, para encontrar o valor de "c" vamos na expressão (III) que é esta:

a - c = 1 ----- substituindo-se "a" por "1/3", teremos:

1/3 - c = 1 ----- isolando "-c", teremos:

-c = 1 - 1/3 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:

c = 1/3 - 1 ----- mmc, no 2º membro é "3". Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos:

c = (1*1 - 3*1)/3

c = (1 - 3)/3 ----- como "1-3 = - 2", teremos:

c = - 2/3 <---- Este é o valor de "c".

iii) Assim, resumindo, temos que os valores de "a", "b" e "c" são:

a = 1/3; b = -1/3; c = -2/3 <--- Esta é a resposta. Ou seja, estes são os valores pedidos de "a", "b" e "c" da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.