Question

Exercício de matriz
A . X = B, é?

Answer 1

Há diferentes formas de resolver este exercício, vou deixar duas dessas formas de resolução abaixo.

1ª forma: Utilizando a inversa da matriz A.

Sabemos que o produto de uma matriz pela sua inversa (A⁻¹ . A) tem como resultado a matriz Identidade, o elemento neutro na multiplicação de matrizes.

$\boxed{A^{-1}_{n\times n}\cdot A_{n\times n}~=~I_n}$

Assim, multiplicando ambos os lados da equação dada pela inversa da matriz A, teremos:

$A^{-1}\cdot A\cdot X~=~A^{-1}\cdot B\\\\\\I_n\cdot X~=~A^{-1}\cdot B\\\\\\\boxed{X~=~A^{-1}\cdot B}$

Dessa forma, para determinar X, precisaremos calcular a inversa de A e, posteriormente, multiplica-la pela matriz B.

Há uma forma simples para achar a matriz inversa de matrizes de ordem 2, como pode ser visto abaixo.

$Sendo~~ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\\\\\\A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\dfrac{d}{det(A)}&-\dfrac{b}{det(A)}\\-\dfrac{c}{det(A)}&\dfrac{a}{det(A)}\end{array}\right]$

Como podemos ver, a inversa é dada trocando os elementos da diagonal principal e trocando o sinal dos elementos da diagonal secundária. Ainda, todos elementos aparecem divididos pelo determinante da matriz A original.

Vamos começar calculando o determinante de A:

$det(A)~=~(1\cdot 2)-(4\cdot 1)\\\\det(A)~=~(2)-(4)\\\\\boxed{det(A)~=\,-2}$

A inversa será dada então por:

$A^{-1}~=~\left[\begin{array}{ccc}\dfrac{2}{-2}&-\dfrac{4}{-2}\\-\dfrac{-1}{-2}&\dfrac{1}{-2}\end{array}\right]\\\\\\A^{-1}~=~\left[\begin{array}{ccc}-1&2\\-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right]$

Agora sim podemos determinar a matriz X:

$X~=~A^{-1}\cdot B\\\\\\X~=~\left[\begin{array}{ccc}-1&2\\\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right]\\\\\\X~=~\left[\begin{array}{ccc}-1\cdot1+2\cdot1&-1\cdot2+2\cdot 1\\\dfrac{1}{2}\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 1&\dfrac{1}{2}\cdot 2-\dfrac{1}{2}\cdot 1\end{array}\right]\\\\\\X~=~\left[\begin{array}{ccc}-1+2&-2+2\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}&1-\dfrac{1}{2}\end{array}\right]$

$X~=~\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{array}\right]~~~\Rightarrow~Letra~A$

2ª forma: Sistema de equações

Sabemos que, para que possa ocorrer a multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao numero de linhas da segunda. Ainda, a matriz resultante deste produto terá número de linhas igual ao da primeira matriz e número de colunas igual ao da segunda

$\boxed{A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}~=~C_{m\times p}}$

Assim, observando a equação dada no enunciado, podemos afirmar que a matriz X terá, necessariamente, 2 linhas, já que A possui 2 colunas e terá 2 colunas, já que a matriz B (resultado do produto) possui 2 colunas.

Podemos então escrever a matriz X, genericamente, como:

$X~=~\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Efetuando a multiplicação entre A e X, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}1&4\\1&2\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1\cdot a+4\cdot c&1\cdot b+4\cdot d\\1\cdot a+2\cdot c&1\cdot b+2\cdot d\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}a+4c&b+4d\\a+2c&b+2d\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right]$

$\left\{\begin{array}{ccc}a+4c&=&1\\a+2c&=&1\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{ccc}b+4d&=&2\\b+2d&=&1\end{array}\right.$

Temos então dois sistemas de 2 equações com duas variáveis cada.

Podemos utilizar qualquer método conhecido para resolve-los, vou utilizar o método da adição.

1º sitema

--> Somando a 1ª equação com o negativo da 2ª:

$(a+4c)-(a+2c)~=~1-1\\\\a+4c-a-2c~=~0\\\\2c~=~0\\\\\boxed{c~=~0}$

--> Substituindo o valor de "c" em uma das duas equações (qualquer uma):

$a+4c~=~1\\\\a+4\cdot0=1\\\\a+0~=~1\\\\\boxed{a~=~1}$

2º sitema

--> Somando a 1ª equação com o negativo da 2ª:

$(b+4d)-(b+2d)~=~2-1\\\\b+4d-b-2d~=~1\\\\2d~=~1\\\\\boxed{d~=~\dfrac{1}{2}}$

--> Substituindo o valor de "d" em uma das duas equações (qualquer uma):

$b+4d~=~2\\\\b+4\cdot\dfrac{1}{2}=2\\\\b+2~=~2\\\\\boxed{b~=~0}$

Assim, a matriz X fica:

$X~=~\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{array}\right]~~~\Rightarrow~Letra~A$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$