Question

exercício de logaritmo - ache o maior valor de n para o qual a1, a2, a3, ..., an são números reais verificando a igualdade
log 12345 = a1
log a1 = a2
log a2 = a3
.
.
.
log a(n-1) = an
agradeço desde já

Answer 1

Olá Jordana.



Segundo o enunciado, precisamos saber quantas vezes podemos ficar tirando logaritmos do logaritmo de um número, até isso não seja mais possível, ou seja, o logaritmando passa a ser menor que 0.

Podemos fazer uma analogia usando uma calculadora, se você ficar colocar um certo número positivo na calculadora e começar a pressionar log, uma hora dará erro.

Para resolver essa questão é importante conhecer um pouco sobre mantissas e característica. 

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Mantissa - 

Mantissa é a parte decimal do logaritmo, onde sua parte inteira é sempre 0, exemplo:

$\mathsf{\ell og(3)=0,\underbrace{\mathsf{4771212}}...}\\\mathsf{\qquad \qquad\qquad mantissa}$

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Característica -

Característica de um logaritmo é o número que você somará com a parte decimal (mantissa), exemplo:

$\mathsf{\ell og(220)=\boxed{\mathsf{2}},3424...}\\\mathsf{~~~~~~ \qquad\quad \downarrow }~\\\mathsf{\qquad~~ caracter\'istica}$


Existe uma regra para saber qual será a parte inteira (característica), de um número, veja:

Caso I: Parte inteira maior que 0.

Vamos supor que queremos saber qual é a característica de $\mathsf{\ell og(3.500}$ .O que você precisa fazer é contar a quantidade de algarismos e então subtrair uma unidade dessa quantidade, esse será o valor da característica. 

3.500 → 4 algarismos, característica (4 - 1 = 3).

$\mathsf{\ell og(3.500)\approx 3,544~\to~3+0,544}$


Caso II: Parte inteira menor que 0.

Já em casos de um número com a parte inteira igual a 0, a característica será igual ao oposto da quantidade de zeros a esquerda da parte numérica, exemplo:

0,000032 ← 5 zeros, característica -5.
0,00020 ← 4 zeros, característica -4.

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Ou seja, quando um número tiver sua parte inteira igual a 0, a característica será sempre negativa!

Com essas informações já podemos resolver a questão:

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∴ R.: 


Precisamos ir calculando as características até que de um valor negativo, onde será a hora de parar, pois um logaritmando jamais pode assumir um valor menor que 0.


$\mathsf{\ell og12~345=a_1}$

Vamos calcular a característica do número (12.345).

12.345 ← 5 algarismos, característica (5 - 1 = 4).

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$\mathsf{\ell og~a_1=a_2}$

Como calculamos antes, $\mathsf{a_1}$ terá a parte inteira igual a 4, portanto sua característica será:

4 ← algarismos, característica (1 - 1 = 0).

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$\mathsf{\ell og~a_2=a_3}$

Como vimos antes, a parte inteira de $\mathsf{a_2}$ é igual a 0, portanto esse será o último logaritmo!


Portanto o maior valor de n será 3!

$\boxed{\mathsf{\ell og~a(3-1) = a_3\Rightarrow \ell og~a(3-1)=a_3\Rightarrow \ell og~a_2=a_3}}$


Dúvidas? comente.

Answer 2

a1 = log12345 tem característica 5 -1 = 4 , => log 4, ... 1° possibilidade.
a2 = log 4,... tem característica 1 - 1 = 0 => a2 = log 0, ... 2° possibilidade
a3 = log 0, ... tem característica -1, ... => a3 = -1,...

Daqui em diante não é mais possível calcular os logaritmos, pois o
logaritmando < 0 

Portanto o maior valor pra n é 3.