Question

Exercício de Fatoração:
a) x^4-20x^2+4

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para fatorar a seguinte equação biquadrada, que estamos entendendo esteja escrita da seguinte forma:

x⁴ - 20x² + 4 = 0 ---- note que x⁴ = (x²)². Assim, substituindo teremos:

(x²)² - 20x² + 4 = 0 ----- Agora vamos fazer x² = k . Com isso, ficaremos;

(k)² - 20k + 4 = 0 --- ou apenas:
k² - 20k + 4 = 0 ----- aplicando Bháskara, teremos:

k' = 10-4√(6)
k'' = 10+4√(6)

Mas veja que fizemos x² = k. Então:


i) Para k = 10-4√(6), teremos:

x² = 10 - 4√(6)
x = +-√[10-4√(6)] ----- daqui você conclui que:

x' = -2-√(6)
x'' = -2+√(6)


ii) Para k = 10 + 4√(6), teremos:

x² = 10 + √(6)
x = +-√[10+4√(6)] ---- daqui você conclui que:

x''' = 2 - √(6)
x'''' = 2 + √(6)


Assim, como já temos as 4 raízes, então vamos fatorar a equação biquadrada dada. Dessa forma,  teremos que:

x⁴ - 20x² + 4 = (x-(-2-√6))*(x-(-2+√6))*(x-(2-√6))*(x-(2+√6)) ---- ou:
x⁴ - 20x² + 4 = (x-2+√6)*(x+2-√6)*(x-2+√6)*(x-2-√6) <--- Esta é a forma fatorada pedida.


OK?
Adjemir.