Question

Exercício de Combinação: como consigo fazer esse cálculo ? Sei q o resultado tem q dar 50

Answer 1

Oi Ph.

Primeiramente basta fazer a combinação total, juntando homens com mulheres.
Como temos 5 homens e 4 mulheres teremos ao todo 9 pessoas, então basta fazer uma combinação 9,3.

$C_{ 9,3 }=\frac { 9! }{ 3!*6! } \Rightarrow 84$

Portanto esse é o total de possibilidades, agora é só fazer mais duas combinações, uma só para homens e outra só para mulheres e no final fazer a diferença.

Só dos homens:

$C_{ 5,3 }=\frac { 5! }{ 3!*2! } \Rightarrow 10$

Só das mulheres:

$C_{ 4,3 }=\frac { 4! }{ 3!*1! } \Rightarrow 4$

Juntando teremos:

$10+4=14$


Fazendo a diferença acharemos:

$84-14=70$

Answer 2

Queremos formar uma comissão com três pessoas, com a condição de que, essa comissão não seja constituída apenas com pessoas do mesmo sexo.

Temos 5 homens e 4 mulheres disponíveis.

Como não queremos 3 pessoas do mesmo sexo, podemos ter comissões com dois homens e uma mulher ou comissões com um homem e duas mulheres.

Comissões com dois homens e uma mulher

Observe, que a ordem em que as pessoas são escolhidas não é importante. Utilizaremos combinação.

O número de maneiras de escolher $k$ pessoas entre $n$ é $\dbinom{n}{k}$.

Deste modo, há $\dbinom{5}{2}$ maneiras de escolher 2 homens entre 5. Analogamente, há $\dbinom{4}{1}$ modos de selecionar uma mulher entre 4.

Com isso, podemos formar $\dbinom{5}{2}\cdot\dbinom{4}{1}=10\cdot4=40$ comissões constituídas de 2 homens e 1 mulher.

Comissões com um homem e duas mulheres

Prosseguindo como anteriormente, vemos que, há $\dbinom{5}{1}$ modos de escolher um homem entre cinco e $\dbinom{4}{2}$ maneiras de selecionar duas mulheres entre quatro.

Nesta situação, podemos formar $\dbinom{5}{1}\cdot\dbinom{4}{2}=5\cdot6=30$ comissões.

A resposta é $40+30=70$.