Question

Exercício de calculo 2 valendo 40 pontos

Encontre o volume do seguinte solido de revolucao:

Y = 2-(1/2)x, y=0, x=1, x=2; em torno do eixo x.

Answer 1

Bom, o sólido vai rodar ao redor do eixo x, e nesse eixo termos a reta y = 0, na qual efetuará o giro, e ao mesmo tempo sendo delimitado pelas retas x = 1 e x = 2, daí já sabemos quais limites usar na integral. Precisamos encontrar o raio desse sólido, que será simplesmente a diferença entre a curva e a reta ou eixo no qual está girando, que no nosso caso é em y = 0.

$\displaystyle A = \pi \cdot r^2 \\ \\ r = 2 - \frac{1}{2}x - 0 \\ \\ r = 2 - \frac{1}{2}x$

Portanto, a expressão para o volume do sólido será:

$\displaystyle \int^{2}_{1} \pi \cdot (2 - \frac{1}{2}x)^2 \, dx \\ \\ \\ \pi \cdot \int^{2}_{1} (\frac{1}{4}x^2-2x+4) \, dx \\ \\ \\ \pi \cdot (\frac{1}{12}x^3-x^2+4x) \\ \\ \\ \frac{\pi}{12}x^3- \pi x^2+4 \pi x \, \bigg |^{2}_{1} \\ \\ \\ \bigg( \frac{\pi}{12} \cdot 2^3- \pi \cdot 2^2+4 \pi \cdot 2 \bigg) - \bigg( \frac{\pi}{12} \cdot 1^3- \pi \cdot 1^2+4 \pi \cdot 1 \bigg) \\ \\ \\ \bigg( \frac{8 \pi }{12}+ 4 \pi \bigg) - \bigg( \frac{\pi}{12} + 3 \pi \bigg) \\ \\ \\ \frac{56\pi}{12}- \frac{37 \pi}{12}$

$\displaystyle \boxed{\boxed{ V = \frac{19 \pi}{12} }}$