Question

Exercício de álgebra linear sobre transformação linear.

Answer 1

Resposta:



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Transformação Linear

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Teoria

Já fica experto que esse tópico é super importante e sempre aparece nas provas de Álgebra Linear. Quando falamos sobre transformação linear estamos falando de uma função, que é capaz de alterar o valor de um resultado de acordo com um determinado valor de entrada (input).

Como em Álgebra Linear gostamos de deixar os detalhes conceituais bem claras, dizemos que uma transformação é uma função que tem um conjunto A chamado de domínio, um conjunto B chamado de contradomínio e uma fórmula de associação, que de alguma forma consegue levar os valores de A para B.



Por exemplo a função f(x)=x2, tem todos os números Reais em seu domínio, e sempre tem como resultado outros números Reais, então podemos escrever que:

f:\reals→\reals

x↦x2

Usamos a mesma analogia clássica de função para explicar uma transformação, podemos pensar em uma maquininha que recebe um número (ou um vetor) e cospe um outro número (ou outro vetor). A transformação é a responsável por fazer a ligação entre o domínio e o contradomínio.

Ou seja, enquanto com as funções estamos acostumados com transformações apenas entre dois números reais, quando falamos de transformações lineares estamos falando de funções que admitem qualquer espaço vetorial como argumento e como saída.

Então vamos ver um exemplo de uma transformação:

T:\R2→\R3

(x,y)↦(x,2y,x+y)

Nesse caso ao escolher dois valores, um para x e um para y, definimos um ponto de 3 coordenadas no \R3. A transformação é exatamente a expressão que nos gera essa mudança.

E o que significa dizer que uma transformação é linear? Uma transformação é dita linear quando obedece aos seguintes critérios:

T(u+v)=T(u)+T(v)

T(λu)=λT(u),∀λ∈\R