Question

EXERCÍCIO COVID-19:
Supondo que uma pessoa contaminada, transmite o vírus para CINCO pessoas. Suponha que DUAS transmissões ocorrem três dias depois após a contaminação e as outras 3, SEIS dias após a contaminação.

a) No final de 21 dias quantas pessoas estarão contaminadas?​

Answer 1

Resposta:

2460

Explicação passo-a-passo:

Para entender melhor o raciocínio que usarei vamos fazer os casos iniciais.

Começamos com um único infectado. Seja X essa pessoa.

Apos 3 dias essa pessoa infeta outras duas duas, que chamaremos de Y₁ e Y₂. Ou seja, após 3 dias temos um total de 3 infectados.

Passados mais 3 dias, a pessoa inicialmente doente infecta outras 3 pessoas, que denotaremos Z₁, Z₂ e Z₃. E Y₁, Y₂ que foram infectadas 3 dias atrás infectam 2 pessoas cada, que chamaremos de Z₄, Z₅, Z₆, Z₇. Assim temos 1+2+7 = 10 infectados após 6 dias.

Passados mais 3 dias, cada um dos infectados 6 dias atras (Y₁  e Y₂)contamina 3 pessoas cada: W₁, W₂, ..., W₆. Além disso temos mais 2 por cada um dos Z's: W₇, ..., W₂₀. Ou seja, no fim de 9 dias temos 1+2+7+20 = 30 infectados. Note que X não infecta mais ninguém.

E assim em diante

Observe que temos 3 tipos de pessoas doentes:

1) As recem infectadas. Chamaremos essas pessoas de tipo A.

2) As pessoas que foram infectadas 3 dias atrás. Essas serão tipo B

3) As que foram infectadas 6 dias atrás ou mais. Essas serão tipo C.

Voltando ao que fizemos anteriormente temos:

No dia 0, temos apenas um recem infectado. Ou seja, uma única pessoa do tipo A, 0 do tipo B e 0 do tipo C

Apos 3 dias temos 2 pessoas do tipo A (que foram infectadas pela pessoa X). E temos uma pessoa do tipo B (o paciente X que virou tipo B após 3 dias). E temos 0 do tipo C

Passados 6 dias teremos  7 do tipo A, 2 do tipo B e 1 do tipo C

Passados 9 dias teremos 20 do tipo A, 7 do tipo B e 3 do tipo C

Vamos usar a notação:

A₀, B₀, C₀ indica a quantidade de doentes do tipo A, tipo B e C respectivamente inicialmente

A₁, B₁, C₁ indica a quantidade de doentes do tipo A,  B e C respectivamente passados 3 dias

A₂, B₂, C₂ indica a quantidade de doentes do tipo A,  B e C respectivamente passados 6 dias.

Ou seja, obtemos os seguintes dados até agora:

A₀ = 1     A₁ = 2       A₂ = 7         A₃ = 20

B₀ = 0     B₁ = 1        B₂ = 2         B₃ = 7

C₀ = 0     C₁ = 0       C₂ = 1          C₃ = 3

Note que A₀+B₀+C₀ indica o número de doentes inicial, A₁+B₁+C₁ indica o número de doentes passados 3 dias, e assim por diante. Ou seja o que queremos calcular é A₇ + B₇ + C₇. Observe as seguintes relações de recorrência:

Cₙ₊₁ = Bₙ + Cₙ

Pois pessoas do tipo B virarão do tipo C passados 3 dias. E as pessoas do tipo C continuam sendo do tipo C.

Bₙ₊₁ = Aₙ

Isso é análogo ao anterior. Pessoas do tipo A viram pessoas do tipo B passados 3 dias.

Aₙ₊₁ = 2Aₙ + 3Bₙ

Bom, novas infecções ocorrem por pessoas do tipo A e do tipo B. Cada pessoa do tipo A infecta 2 e cada uma do tipo B infecta 3. Pessoas do tipo C já infectaram 5 pessoas no decorrer das semanas anteriores  e não infectam mais nenhuma.

Com essas relações podemos preencher a tabela:

n          0      1      2      3      4       5         6        7

Aₙ        1      2     7    20    61     182     547    1640

Bₙ       0     1      2     7     20     61       182     547

Cₙ       0     0     1      3     10      30       91      273

Assim, A₇+B₇+C₇ = 1640+547+273 = 2460

Ou seja, após 21 dias teremos 2460 pessoas contaminadas

Obs.: Se Tₙ = Aₙ + Bₙ + Cₙ é o total de contaminados passados 3n dias, é possível provar que

$\begin{cases} T_{2n} = \dfrac{3^{2n+2} - 1}{8} \\[2ex] T_{2n+1} = \dfrac{3^{2n+3} -3}{8}\end{cases}$

Ou seja, T₇ = (3⁹-3)/8 = 2460. Isso permite calcular o total de pessoas infectadas passados, por exemplo, 2 meses sem fazer aquela tabela que fizemos. T₂₀ = 3 922 632 451 ≈ 4 bilhões de pessoas (o covid real é mais lento que isso).