Question

Exercicio Calculo 1 - Limites

Answer 1

Questão 1):

Para resolver esse primeiro limite, vamos lembrar do Teorema que tem dentro de limites no infinito, esse Teorema diz que:

• Seja "n" um número inteiro positivo, então: $\boxed{ \lim_{\sf x \rightarrow \pm\infty}\frac{1}{\sf x^{n}}=0}$

Sabendo desse Teorema, vamos iniciar os cálculos.

Primeiramente devemos colocar o termo de maior grau em evidência, ou seja x⁴.

$\sf \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x {}^{4} - 3x {}^{2} + 5}{7x {}^{4 }- 4x {}^{3} + 8 }$

$\sf \frac{x {}^{4}.(1 - \frac{3}{x {}^{2} } + \frac{5}{x {}^{4} } ) }{x {}^{4}.(7 - \frac{4}{x} + \frac{8}{x {}^{4} } ) }$

Após ter colocado em evidência, aplique o Teorema, ou seja, onde tiver um número sobre uma potência de "x", o valor será igual a "0":

$\sf \frac{1 - \cancel{\frac{3}{x {}^{2} } + \frac{5}{x {}^{2} }} {}^{0} }{7 - \cancel{\frac{4}{x} + \frac{8}{x {}^{4} } {}^{0} } } = \frac{1}{7}$

Portanto o valor desse limite é:

$\boxed{ \sf \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x {}^{4} - 3x {}^{2} + 5}{7x {}^{4 }- 4x {}^{3} + 8 } = \frac{1}{7} }$

Questão 2):

Nesse limite vamos trabalhar basicamente com fatoração de expressões:

$\sf \lim_{x \rightarrow 3} \frac{ {x}^{2} - 9 }{x {}^{2} + 4x - 21}$

Vamos fatorar o numerador através da diferença de dois quadrados:

$\boxed{ \sf x {}^{2} - y {}^{2} = (x - y).(x + y)}\\ \\ \sf (x {}^{2} - 9) = x {}^{2} - 3 {}^{2} = (x + 3).(x - 3)$

Já o denominador, vamos resolver através do produto de Stevin:

$\boxed{ \sf (x + a).(x + b) = x {}^{2} + (a + b)x + a.b }\\ \\ \sf (x {}^{2} + (7 - 3)x + 7.( - 3) = (x- 3).(x + 7)$

Substituindo esses dados na expressão:

$\sf \frac{(x + 3). \cancel{(x - 3)}}{ \cancel{(x - 3)}.(x + 7)} = \frac{x + 3}{x + 7}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{x + 3}{x +7 } = \frac{3 + 3}{7 + 3} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Portanto temos que:

$\boxed{ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x {} ^{2} - 9 }{x {}^{2} + 4x - 21 } = \frac{3}{5} }$

Questão 3):

Esse limite será resolvido através de racionalização, ou seja, vamos multiplicar o numerador pelo conjugado do numerador, além de multiplicar e o denominador pelo conjugado do numerador:

$\sf \lim _{x \rightarrow 2} \frac{ \sqrt{x + 2} - 2}{x {}^{2} - 4}$

$\sf \frac{ \sqrt{x + 2} - 2 }{x {}^{2} - 4 } = \frac{ \sqrt{x + 2} - 2 }{x {}^{2} - 4} . \frac{ \sqrt{x + 2} + 2}{ \sqrt{x + 2} + 2} = \\ \\ = \frac{ \sf \sqrt{x + 2}. \sqrt{x + 2} + 2.( \sqrt{x + 2} ) - 2.( \sqrt{x + 2}) - 2.2}{ \sf x {}^{2} - 4.( \sqrt{x + 2} + 2)} \\ \\ = \frac{( \sf\sqrt{x + 2} ) {}^{2} - 4}{ \sf (x - 2).(x + 2).( \sqrt{x + 2} + 2) } \\ \\ = \frac{ \sf x + 2 - 4}{ \sf(x + 2).(x - 2).(\sf\sqrt{x + 2} + 2)} \\ \\ = \frac{ \sf \cancel{ x - 2}}{ \sf(x + 2).( \cancel{x - 2}).( \sqrt{x + 2} + 2) } \\ \\ \sf = \frac{1}{(x + 2).( \sqrt{x + 2} + 2) }$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\frac{1}{( \sf x + 2).( \sf \sqrt{x + 2} + 2) } = \frac{ \sf1}{ \sf (2 + 2).( \sqrt{2 + 2} + 2)} = \sf\frac{1}{4.(2 + 2)} = \frac{1}{4.4} = \frac{1}{16}$

Portanto:

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ \sqrt{x + 2} - 2 }{x {}^{2} - 4 } = \frac{1}{16} }$

Questão 4):

Para resolver esse limite, vamos entender uma coisinha sobre ele.

Esse limite lateral tem o "x" tendendo a valores a esquerda de (1), ou seja, valores menores que (1), sabendo disso, vamos fazer testes com alguns números menores que (1):

$\sf \lim _{x \rightarrow 1 {}^{ - } } \frac{x {}^{2} + 4}{1 - x} \\ \\ \sf \lim _{x \rightarrow 0} \frac{0 {}^{2} + 4}{1 - 0} = \frac{4}{1} = 4 \\ \\ \sf \lim _{x \rightarrow - 1} \frac{ (- 1 {}^{2}) + 4}{1 - ( - 1)} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} \\ \\ \sf \lim _{x \rightarrow - 2} \frac{( - 2) {}^{2} + 4 }{1 - ( - 2)} = \frac{4 + 4}{1 + 2} = \frac{8}{3} \\ \\ \sf \lim_{x \rightarrow - 3} \frac{( - 3) {}^{2} + 4}{1 - ( - 3)} = \frac{9 + 4}{1 + 3} = \frac{13}{4} \\ \sf \vdots \: \\ \sf\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x {}^{2} + 4}{1 - x}$

Como você pode ver, cada vez que esse esse número diminui, o "x" cresce para valores maiores que "0", portanto vamos calcular esse limite tendendo a menos infinito:

$\sf \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x {}^{2} + 4 }{1 - x}$

Pare resolver, devemos dividir todos os números pelo termo de maior grau, ou seja, x².

$\sf \frac{4 + x {}^{2} }{1 - x} = \frac{ \cancel{\frac{4}{x {}^{2}} {}^{0} } + \frac{x {}^{2} }{ {x}^{2} } }{ \cancel{ \frac{1}{x {}^{2}} {}^{0} } - \frac{x}{x {}^{2} } } = \frac{0 + 1}{0 - {x}^{1 - 2} } = \\ \\ = \sf \frac{1}{ - x {}^{ - 1} } = \frac{1}{ - \frac{1}{x} } = \frac{1}{1} .( - \frac{x}{1}) = - x$

Substituindo o valor a qual "x" tende:

$\sf - x = - ( - \infty) = + \infty$

Portanto temos:

$\sf \lim _{x \rightarrow 1 {}^{ - } } \frac{4 + x {}^{2} }{1 - x} = + \infty$

Espero ter ajudado