Question

Exercicio 7 Resolva a equação 1+log_2(x+4).. foto abaixo

Answer 1

$\frac{1 + log_{2}(x - 4) }{ log_{ \sqrt[2]{2} }( \sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x} ) } = 1$

Escreva a expressão na forma exponencial com base 2.

Sendo assim...

$\frac{1 + log_{2}(x - 4) }{ log_{ 2 {}^{ \frac{1}{2} } }( \sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x} ) } = 1$

Usando a fórmula

$log_{a {}^{y} }(b) = \frac{1}{y} \times log_{a}(b)$

, reescreva a expressão.

Sendo assim...

$\frac{1 + log_{2}(x - 4) }{2 log_{2}( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} ) }$

Multiplique os membros da equação por

$2 log_{2}( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} )$

.

Sendo assim...

$1 + log_{2}(x - 4) = 2 log_{2}( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} )$

1 pode ser expresso como um logaritmo com base igual ao argumento.

Sendo assim...

$log_{2}(2) + log_{2}(x - 4) = 2 log_{2}( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} )$

Usando a fórmula

$x \times log_{a}(b) = log_{a}(b {}^{x} )$

, reescreva a expressão.

Sendo assim...

$log_{2}(2) + log_{2}(x - 4) = log_{2}(( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} ) {}^{2} )$

Usando a fórmula

$log_{a}(x) + log_{a}(y) = log_{a}(x \times y)$

, simplifique a expressão.

Sendo assim...

$log_{2}(2(x - 4)) = log_{2}( (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}) {}^{2} )$

Use a propriedade da distributiva da multiplicação e multiplique cada termo dentro dos parênteses por 2.

Sendo assim...

$log_{2}(2x - 8) = log_{2}( (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}) {}^{2} )$

Dado que as bases dos logaritimos são iguais, defina os argumentos como iguais.

Sendo assim...

$2x - 8 = ( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3} ) {}^{2}$

Usando a fórmula

$(a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2}$

, desenvolva a expressão.

Sendo assim...

$2x - 8 = x + 3 - 2 \sqrt{(x + 3) \times (x - 3)} + x - 3$

Dado que a soma de dois opostos é zero, remova-os Da expressão.

Sendo assim...

$2x - 8 = x - 2 \sqrt{(x + 3) \times (x - 3)} + x$

Usando a fórmula

$(a - b) \times (a + b) = a {}^{2} - b {}^{2}$

, Simplifique o produto.

Sendo assim...

$2x - 8 = 2 - x \sqrt{</strong><strong>(</strong><strong>X</strong><strong> </strong><strong>+</strong><strong> </strong><strong>3</strong><strong>)</strong><strong>(</strong><strong>X</strong><strong> </strong><strong>-</strong><strong> </strong><strong>3</strong><strong>)</strong><strong>} </strong><strong>-</strong><strong> x$

Coloque os termos similares em evidência e some os demais.

Sendo assim...

$2x - 8 = 2x - 2 \sqrt{x {}^{2} - 9 }$

Cancele os Termos iguais em ambos os lados da equação.

Sendo assim...

$- 8 = - 2 \sqrt{x {}^{2} - 9 }$

Troque os membros da equação.

Sendo assim...

$- 2 \sqrt{x {}^{2} - 9 } = - 8$

Divida ambos os membros da equação por 2.

Sendo assim...

$\sqrt{x {}^{2} - 9} = 4$

Eleve ao quadrado ambos os membros da equação.

Sendo assim...

$x {}^{2} - 9 = 16$

Mova a constante para a membro direito e altere o seu sinal.

Sendo assim...

$x {}^{2} = 16 + 9$

Some os valores.

Sendo assim...

$x {}^{2} = 25$

Aplique a raiz quadrada a ambos os membros da equação por e lembre-se de usar raízes negativas e positivas.

Sendo assim...

$x = \frac{ + }{} 5$

Escreva as soluções uma com o sinal + e outra com o sinal -.

Sendo assim...

$x = - 5 \\ x = 5$

Verifique se o Valor dado é a solução da equação.

Sendo assim...

$\frac{1 </strong><strong>+</strong><strong>log_{2}( - 5 - 4) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{ - 5 + 3} - \sqrt{ - 5 - 3} ) } = 1$

$\frac{1 log_{2}(5 - 4) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{5 + 3} - \sqrt{5 - 3} ) } = 1$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$\frac{1</strong><strong>+</strong><strong> log_{2}( - 9) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{ - 5 + 3} - \sqrt{ - 5 - 3} ) } = 1$

$\frac{1</strong><strong>+</strong><strong> log_{2}(5 - 4) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{5 + 3} - \sqrt{5 - 3} ) } = 1 \\ 1 = 1$

$\frac{1</strong><strong>+</strong><strong> log_{2}( - 9) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{ - 5 + 3} - \sqrt{ - 5 - 3} ) } = 1$

Dado que a expressão é indefinida no intervalo dos números reais, X = -5 não é a solução da equação.

X # -5

$\frac{1</strong><strong> </strong><strong>+</strong><strong> log_{2}(5 - 4) }{ log_{ \sqrt{2} }( \sqrt{5 + 3} - \sqrt{5 - 3} ) } = 1 \\ 1 = 1$

A igualdade é verdadeira, logo x = 5 é a solução da equação.

$x = 5$