Exercício 6. Em um terreno quadrado de lado a, deseja-se construir um jardim também
quadrado de lado y como mostra a figura que segue.
(figura anexo)
Ressaltamos que na figura, os segmentos AP, BQ, CR e DS tem a mesma medida. Além disso, os segmentos PQ, QR, RS e SP também possuem a mesma medida.
a) Determine o comprimento do lado do jardim em função do comprimento do lado do
terreno.
b) Determine a área do jardim em função do comprimento do lado do terreno.
Anexos:
Soluções para a tarefa
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Na figura, representei as medidas dos segmentos AP, BQ, CR e DS por x (pois eles são iguais).
E as medidas dos segmentos PQ, QR, RS e SP por a - x.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
y² = (a - x)² + x²
y² = a² - 2ax + x² + x²
y² = a² - 2ax + 2x²
y² = 2x² - 2ax + a²
Temos uma função quadrática (a = 2, b = - 2a, c = a²).
Então, para calcular a área mínima, basta lembrarmos de como calcular o valor mínimo de uma função quadrática. Assim, a área mínima será dada por:
Yv = - Δ/4a
Yv = - (b² - 4ac)/4a
Yv = - ((-2a)² - 4·2·a²)/4·2
Yv = - (4a² - 8a²)/8
Yv = - 4a²(1 - 2)/8
Yv = - 4a²(-1)/8
Yv = 4a²/8
Yv = a²/2
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